Question

8．已知二次函數(shù)y=x²-2x-3的圖象與x軸相交于A、B兩點(diǎn)，點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)．其頂點(diǎn)為M，將此二次函數(shù)圖象在x軸下方的部分沿x軸翻折，圖象的其余部分保持不變，得到一個新的圖象，當(dāng)直線y=x+n與此圖象有且只有兩個公共點(diǎn)時(shí)，則n的取值范圍為n＞$\frac{13}{4}$或-3＜n＜1．

Answer 1

分析 通過解方程x²-2x-3=0得到A、B的坐標(biāo)，利用二次函數(shù)的性質(zhì)得到M點(diǎn)的坐標(biāo)，則可寫出圖象y=（x-1）²-4（-1＜x＜3）沿x軸翻折所得圖象的解析式為y=-x²+2x+3（-1＜x＜3），如圖，然后求出直線y=x+n與y=-x²+2x+3（-1＜x＜3）相切m的值，直線y=x+n過A（-1，0）和過B點(diǎn)所對應(yīng)的m的值，再利用圖象可判斷直線y=x+n與此圖象有且只有兩個公共點(diǎn)時(shí)m的取值范圍．

解答 解：當(dāng)y=0時(shí)，x²-2x-3=0，解得x₁=-1，x₂=3，則A（-1，0），B（3，0），
y=x²-2x-3=（x-1）²-4，則M（1，-4），
把圖象y=（x-1）²-4（-1＜x＜3）沿x軸翻折所得圖象的解析式為y=-（x-1）²+4=-x²+2x+3（-1＜x＜3），如圖，
當(dāng)直線y=x+n與y=-x²+2x+3（-1＜x＜3）相切時(shí)，直線與新函數(shù)圖象有三個交點(diǎn)，此時(shí)x+n=y=-x²+2x+3有相等的實(shí)數(shù)解，
方程整理得x²-x+n-3=0，△=（-1）²-4（n-3）=0，解得n=$\frac{13}{4}$，
當(dāng)直線y=x+n過A（-1，0）時(shí)，-1+n=0，解得n=1，
當(dāng)直線y=x+n過B（3，0）時(shí)，3+n=0，解得n=-3，
所以當(dāng)n＞$\frac{13}{4}$或-3＜n＜1時(shí)，直線y=x+n與此圖象有且只有兩個公共點(diǎn)．
故答案為n＞$\frac{13}{4}$或-3＜n＜1．

點(diǎn)評 本題考查了拋物線與x軸的交點(diǎn)：把求二次函數(shù)y=ax²+bx+c（a，b，c是常數(shù)，a≠0）與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)問題轉(zhuǎn)化為解關(guān)于x的一元二次方程．也考查了拋物線與直線的交點(diǎn)問題．解決本題的關(guān)鍵是利用數(shù)形結(jié)合的思想的運(yùn)用．