Question

10．已知：AB=BC，∠ABC=90°．將線段AB繞點A逆時針旋轉α（0°＜α＜90°）得到線段AD．點C關于直線BD的對稱點為E，連接AE，CE．
（1）如圖，①補全圖形；②求∠AEC的度數(shù)；
（2）若AE=$\sqrt{2}$，CE=$\sqrt{3}$-1，請寫出求α度數(shù)的思路．（可以不寫出計算結果）

Answer 1

分析 （1）①作CF⊥BD并延長CF到E使EF=CF，如圖，
②連結BE，如圖，利用對稱的性質得BE=BC，則∠BEC=∠C，則根據(jù)三角形內角和可計算出∠BEC=90°-$\frac{1}{2}$∠EBC，同樣可得∠BEA=90°-$\frac{1}{2}$∠ABE，于是得到∠AEC=∠BEC+∠BEA=180°-$\frac{1}{2}$（∠EBC+∠ABE）=135°；
（2）作AH⊥CE于H，AG⊥BD于G，如圖，先證明△AHE為等腰直角三角形，則AH=HE=$\frac{\sqrt{2}}{2}$AE=1，再利用對稱的性質得CF=EF=$\frac{1}{2}$CE=$\frac{\sqrt{3}-1}{2}$，則HF=HE+EF=$\frac{\sqrt{3}+1}{2}$，接著利用四邊形AGFH為矩形得到AG=HF=$\frac{\sqrt{3}+1}{2}$，然后根據(jù)旋轉的性質得AB=AD，∠BAD=α，再證明△ABD≌△BCE得到∠CBE=∠BAD=α，AG=BF=$\frac{\sqrt{3}+1}{2}$，利用勾股定理計算出BE=$\sqrt{2}$，則可判斷△ABE為等邊三角形，所以∠ABE=60°，于是得到∠α=30°．

解答 解：（1）①如圖，

②連結BE，如圖，
∵點C關于直線BD的對稱點為E，
∴BE=BC，
∴∠BEC=∠C，
∴∠BEC=$\frac{1}{2}$（180°-∠EBC）=90°-$\frac{1}{2}$∠EBC，
∵BA=BC，
∴BA=BE，
∴∠BAE=∠BEA，
∴∠BEA=$\frac{1}{2}$（180°-∠ABE）=90°-$\frac{1}{2}$∠ABE，
∴∠AEC=∠BEC+∠BEA=90°-$\frac{1}{2}$∠EBC+90°-$\frac{1}{2}$∠ABE=180°-$\frac{1}{2}$（∠EBC+∠ABE）=180°-$\frac{1}{2}$×90°=135°；
（2）作AH⊥CE于H，AG⊥BD于G，如圖，
∵∠AEC=135°，
∴∠AEH=45°，
∴△AHE為等腰直角三角形，
∴AH=HE=$\frac{\sqrt{2}}{2}$AE=1，
∵點C關于直線BD的對稱點為E，
∴CF=EF=$\frac{1}{2}$CE=$\frac{\sqrt{3}-1}{2}$，
∴HF=HE+EF=1+$\frac{\sqrt{3}-1}{2}$=$\frac{\sqrt{3}+1}{2}$，
易得四邊形AGFH為矩形，
∴AG=HF=$\frac{\sqrt{3}+1}{2}$，
∵線段AB繞點A逆時針旋轉α（0°＜α＜90°）得到線段AD，
∴AB=AD，∠BAD=α，
∵∠ABD+∠CBF=90°，∠CBF+∠C=90°，
∴∠ABD=∠C，
∴△ABD≌△BCE，
∴∠CBE=∠BAD=α，AG=BF=$\frac{\sqrt{3}+1}{2}$，
在Rt△BFE中，BE=$\sqrt{B{F}^{2}+E{F}^{2}}$=$\sqrt{（\frac{\sqrt{3}+1}{2}）^{2}+（\frac{\sqrt{3}-1}{2}）^{2}}$=$\sqrt{2}$，
∴BE=AB=AE=$\sqrt{2}$，
∴△ABE為等邊三角形，
∴∠ABE=60°，
∴∠CBE=30°，
∴∠α=30°．

點評 本題考查了作圖-旋轉變換：根據(jù)旋轉的性質可知，對應角都相等都等于旋轉角，對應線段也相等，由此可以通過作相等的角，在角的邊上截取相等的線段的方法，找到對應點，順次連接得出旋轉后的圖形．也考查了對稱的性質和等邊三角形的判定與性質．