Question

11．已知∠MAN．
（1）用尺規(guī)完成下列作圖：（保留作圖痕跡，不寫作法）
①作∠MAN的平分線AE；
②在AE上任取一點F，作AF的垂直平分線分別與AM、AN交于P、Q；
（2）在（1）的條件下，線段AP與AQ有什么數(shù)量關(guān)系，請直接寫出結(jié)論．

Answer 1

分析 （1）①利用角平分線的作法得出即可；
②利用垂直平分線的作法得出即可；
（2）利用垂直平分線的性質(zhì)得出∠PGA=∠QGA，進而得出△PAG≌△QAG（ASA），則AP=AQ，即可得出答案．

解答 解：（1）如圖所示：

①AE為所求作的角平分線；      
②PQ為所求作的垂直平分線；   
（2）AP=AQ．
證明：∵PQ是AF的垂直平分線，
∴∠PGA=∠QGA=90°，
∵AE是∠MAN的平分線，
∴∠PAG=∠QAG，
在△PAG和△QAG中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠PGA=∠QGA}\\{AG=AG}\\{∠PAG=∠QAG}\end{array}\right.$，
∴△PAG≌△QAG（ASA），
∴AP=AQ．

點評 此題主要考查了角平分線、線段垂直平分線的作法以及其性質(zhì)和全等三角形的判定與性質(zhì)等知識，根據(jù)已知得出∠BDC=∠BDE是解題關(guān)鍵．