Question

【題目】在平面直角坐標(biāo)系中，O為原點(diǎn)，四邊形OABC的頂點(diǎn)A在軸的正半軸上，OA=4，OC=2，點(diǎn)P，點(diǎn)Q分別是邊BC，邊AB上的點(diǎn)，連結(jié)AC，PQ，點(diǎn)B1是點(diǎn)B關(guān)于PQ的對稱點(diǎn)．

（1）若四邊形OABC為矩形，如圖1，

①求點(diǎn)B的坐標(biāo)；

②若BQ：BP=1：2，且點(diǎn)B1落在OA上，求點(diǎn)B1的坐標(biāo)；

（2）若四邊形OABC為平行四邊形，如圖2，且OC⊥AC，過點(diǎn)B1作B1F∥軸，與對角線AC、邊OC分別交于點(diǎn)E、點(diǎn)F．若B1E： B1F=1：3，點(diǎn)B1的橫坐標(biāo)為，求點(diǎn)B1的縱坐標(biāo)，并直接寫出的取值范圍．

Answer 1

【答案】B（4,2）；（3,0）；≤m≤1+或≤m≤3．

【解析】

根據(jù)矩形的性質(zhì)得出點(diǎn)B的坐標(biāo)；過點(diǎn)P作PD⊥OA，垂足為點(diǎn)D，點(diǎn)B關(guān)于PQ的對稱點(diǎn)為，從而得出△PD∽△QA，即=2則A=1，得出O=3，即得出點(diǎn)的坐標(biāo)；根據(jù)平行四邊形的慈寧宮中得出OA=4，OC=2，OC⊥AC，得出點(diǎn)不與點(diǎn)E，F重合，也不在線段EF的延長線上，然后分點(diǎn)在線段EF的延長線上和點(diǎn)在線段EF（除點(diǎn)E，F）上兩種情況分別進(jìn)行計(jì)算，根據(jù)題意得出點(diǎn)的橫坐標(biāo)為m，根據(jù)比值得出G=m，設(shè)OG=a，從而得出GF和OF的長度，然后根據(jù)線段之間的關(guān)系得出a的值，從而求出m的取值范圍．

（1）①∵OA=4，OC=2，
∴點(diǎn)B的坐標(biāo)為（4，2）；

②如圖1，過點(diǎn)P作PD⊥OA，垂足為點(diǎn)D

∵BQ：BP=1：2

點(diǎn)B關(guān)于PQ的對稱點(diǎn)為

∴Q：P=1：2

∵∠PD=∠PQ=∠AQ=90°

∴∠PD=∠QA

∴△PD∽△QA

∴=2

∴A=1 ∴O=3

即點(diǎn)（3,0）．

（2）∵四邊形OABC為平行四邊形 OA=4，OC=2，且OC⊥AC

∴∠OAC=30°

∵E：F=1：3

∴點(diǎn)不與點(diǎn)E，F重合，也不在線段EF的延長線上

①當(dāng)點(diǎn)在線段EF的延長線上時，如圖2，延長F與y軸交于點(diǎn)G，點(diǎn)的橫坐標(biāo)為m，F∥x軸

E：F=1：3

∴G=m

設(shè)OG=a 則GF=，OF=

∴G=E+EF+FG=（2－）+（4－）+=m

∴a=－

即的縱坐標(biāo)為－

m的取值范圍是≤m≤1+．

②當(dāng)點(diǎn)在線段EF（除點(diǎn)E，F）上時，如圖3，延長F與y軸交于點(diǎn)G，點(diǎn)的橫坐標(biāo)為m

F∥x軸，E：F=1：3 ∴G=m 設(shè)OG=a 則 GF=，OF=

∴CF=2－∴FE=4－F=EF=3－a

∴G=F+FG=（3－）a+a=m

∴a=－即點(diǎn)的縱坐標(biāo)為－

M的取值范圍是≤m≤3