Question

【題目】已知，∠ACB＝90°，CD是∠ACB的平分線(xiàn)，點(diǎn)P在CD上，CP=．將三角板的直角頂點(diǎn)放置在點(diǎn)P處，繞著點(diǎn)P旋轉(zhuǎn)，三角板的一條直角邊與射線(xiàn)CB交于點(diǎn)E，另一條直角邊與直線(xiàn)CA、直線(xiàn)CB分別交于點(diǎn)F、點(diǎn)G．

（1）如圖，當(dāng)點(diǎn)F在射線(xiàn)CA上時(shí)，

①求證：PF＝PE．

②設(shè)CF＝x，EG＝y(tǒng)，求y與x的函數(shù)解析式并寫(xiě)出函數(shù)的定義域．

（2）連接EF，當(dāng)△CEF與△EGP相似時(shí)，求EG的長(zhǎng)．

Answer 1

【答案】（1）①見(jiàn)解析，②（0≤x＜1）；（2）當(dāng)△CEF與△EGP相似時(shí)，①當(dāng)點(diǎn)F在射線(xiàn)CA上時(shí)，EG＝2，②當(dāng)點(diǎn)F在AC延長(zhǎng)線(xiàn)上時(shí)，EG＝2．

【解析】

（1）①過(guò)點(diǎn)P作PM⊥AC，PN⊥BC，垂足分別為M、N，由已知條件證明△PMF≌△PNE即可證明PF=PE；②利用①中的三角形全等和相似三角形的性質(zhì)即可求出y與x的函數(shù)解析式，再寫(xiě)出其自變量的取值范圍即可；

（2）當(dāng)△CEF與△EGP相似時(shí)，點(diǎn)F的位置有兩種情況：①當(dāng)點(diǎn)F在射線(xiàn)CA上時(shí)，②當(dāng)點(diǎn)F在AC延長(zhǎng)線(xiàn)上時(shí)，分別討論求出滿(mǎn)足題意的EG長(zhǎng)即可．

（1）①過(guò)點(diǎn)P作PM⊥AC，PN⊥BC，垂足分別為M、N，

∵CD是∠ACB的平分線(xiàn)，

∴PM＝PN，

由∠PMC＝∠MCN＝∠CNP＝90°，得∠MPN＝90°，

∴∠1+∠FPN＝90°，

∵∠2+∠FPN＝90°，

∴∠1＝∠2，

∴△PMF≌△PNE，

∴PF＝PE；

②∵CP＝，

∴CN＝CM＝1．

∵△PMF≌△PNE，

∴NE＝MF＝1﹣x．

∴CE＝2﹣x．

∵CF∥PN，

∴△GCF∽△GNP，

∴．

∴．

∴（0≤x＜1）．

（2）當(dāng)△CEF與△EGP相似時(shí)，點(diǎn)F的位置有兩種情況：

①當(dāng)點(diǎn)F在射線(xiàn)CA上時(shí)，

∵∠GPE＝∠FCE＝90°，∠1≠∠PEG，

∴∠G＝∠1．

∴FG＝FE．

∴CG＝CE．

在Rt△EGP中，EG＝2CP＝2；

②當(dāng)點(diǎn)F在AC延長(zhǎng)線(xiàn)上時(shí)，

∵∠GPE＝∠FCE＝90°，∠1≠∠2，

∴∠3＝∠2，

∵∠1＝45°+∠5，∠1＝45°+∠2，

∴∠5＝∠2，

易證∠3＝∠4，可得∠5＝∠4，

∴FC＝CP＝，

∴FM＝1+，

易證△PMF≌△PNE，

可得EN＝1+，

∵CF∥PN，

∴，

∴GN＝﹣1．

∴EG＝2．