Question

【題目】小明合作學(xué)習(xí)小組在探究旋轉(zhuǎn)、平移變換．如圖△ABC，DEF均為等腰直角三角形，各頂點(diǎn)坐標(biāo)分別為A（1，1），B（2，2），C（2，1），D（ ，0），E（2 ，0），F(xiàn)（ ，﹣ ）．

（1）他們將△ABC繞C點(diǎn)按順時針方向旋轉(zhuǎn)45°得到△A1B1C1 ． 請你寫出點(diǎn)A1 ， B1的坐標(biāo)，并判斷A1C和DF的位置關(guān)系；
（2）他們將△ABC繞原點(diǎn)按順時針方向旋轉(zhuǎn)45°，發(fā)現(xiàn)旋轉(zhuǎn)后的三角形恰好有兩個頂點(diǎn)落在拋物線y=2 x2+bx+c上，請你求出符合條件的拋物線解析式；
（3）他們繼續(xù)探究，發(fā)現(xiàn)將△ABC繞某個點(diǎn)旋轉(zhuǎn)45°，若旋轉(zhuǎn)后的三角形恰好有兩個頂點(diǎn)落在拋物線y=x2上，則可求出旋轉(zhuǎn)后三角形的直角頂點(diǎn)P的坐標(biāo)，請你直接寫出點(diǎn)P的所有坐標(biāo)．

Answer 1

【答案】
（1）

解：A1（2﹣ ，1+ ），B1（2+ ，1+ ）．

A1C和DF的位置關(guān)系是平行

（2）

解：∵△ABC繞原點(diǎn)按順時針方向旋轉(zhuǎn)45°后的三角形即為△DEF，

∴①當(dāng)拋物線經(jīng)過點(diǎn)D、E時，根據(jù)題意可得：

，

解得

∴y= x2﹣12x+ ；

②當(dāng)拋物線經(jīng)過點(diǎn)D、F時，根據(jù)題意可得：

，

解得

∴y= x2﹣11x+ ；

③當(dāng)拋物線經(jīng)過點(diǎn)E、F時，根據(jù)題意可得：

，

解得

∴y= x2﹣13x+

（3）

解：在旋轉(zhuǎn)過程中，可能有以下情形：

①順時針旋轉(zhuǎn)45°，點(diǎn)A、B落在拋物線上，如答圖1所示：

易求得點(diǎn)P坐標(biāo)為（0， ）；

②順時針旋轉(zhuǎn)45°，點(diǎn)B、C落在拋物線上，如答圖2所示：

設(shè)點(diǎn)B′，C′的橫坐標(biāo)分別為x1，x2．

易知此時B′C′與一、三象限角平分線平行，∴設(shè)直線B′C′的解析式為y=x+b，

聯(lián)立y=x2與y=x+b得：x2=x+b，即x2﹣x﹣b=0，

∴x1+x2=1，x1x2=﹣b．

∵B′C′=1，∴根據(jù)題意易得：|x1﹣x2|= ，

∴（x1﹣x2）2= ，即（x1+x2）2﹣4x1x2=

∴1+4b= ，解得b=- ．

∴x2﹣x+ =0，解得x= 或x= ．

∵點(diǎn)C′的橫坐標(biāo)較小，∴x= ．

當(dāng)x= 時，y=x2= ，

∴P（ ， ）；

③順時針旋轉(zhuǎn)45°，點(diǎn)C、A落在拋物線上，如答圖3所示：

設(shè)點(diǎn)C′，A′的橫坐標(biāo)分別為x1，x2．

易知此時C′A′與二、四象限角平分線平行，∴設(shè)直線C′A′的解析式為y=﹣x+b，

聯(lián)立y=x2與y=﹣x+b得：x2=﹣x+b，即x2+x﹣b=0，

∴x1+x2=﹣1，x1x2=﹣b．

∵C′A′=1，∴根據(jù)題意易得：|x1﹣x2|= ，

∴（x1﹣x2）2= ，即（x1+x2）2﹣4x1x2=

∴1+4b= ，解得b=- ．

∴x2+x+ =0，解得x= 或x= ．

∵點(diǎn)C′的橫坐標(biāo)較大，∴x= ．

當(dāng)x= 時，y=x2= ，

∴P（ ， ）；

④逆時針旋轉(zhuǎn)45°，點(diǎn)A、B落在拋物線上．

因?yàn)槟鏁r針旋轉(zhuǎn)45°后，直線A′B′與y軸平行，因此，與拋物線最多只能有一個交點(diǎn)，故此種情形不存在；

⑤逆時針旋轉(zhuǎn)45°，點(diǎn)B、C落在拋物線上，如答圖4所示：

與③同理，可求得：P（ ， ）；

⑥逆時針旋轉(zhuǎn)45°，點(diǎn)C、A落在拋物線上，如答圖5所示：

與②同理，可求得：P（ ， ）．

綜上所述，點(diǎn)P的坐標(biāo)為：（0， ），（ ， ），（ ， ），（ ， ）

【解析】（1）由旋轉(zhuǎn)性質(zhì)及等腰直角三角形邊角關(guān)系求解；（2）首先明確△ABC繞原點(diǎn)按順時針方向旋轉(zhuǎn)45°后的三角形即為△DEF，然后分三種情況進(jìn)行討論，分別計算求解；（3）旋轉(zhuǎn)方向有順時針、逆時針兩種可能，落在拋物線上的點(diǎn)有點(diǎn)A和點(diǎn)B、點(diǎn)B和點(diǎn)C、點(diǎn)C和點(diǎn)D三種可能，因此共有六種可能的情形，需要分類討論，避免漏解．
【考點(diǎn)精析】本題主要考查了平移的性質(zhì)和旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)的相關(guān)知識點(diǎn)，需要掌握①經(jīng)過平移之后的圖形與原來的圖形的對應(yīng)線段平行（或在同一直線上）且相等，對應(yīng)角相等，圖形的形狀與大小都沒有發(fā)生變化；②經(jīng)過平移后，對應(yīng)點(diǎn)所連的線段平行（或在同一直線上）且相等；①旋轉(zhuǎn)后對應(yīng)的線段長短不變，旋轉(zhuǎn)角度大小不變；②旋轉(zhuǎn)后對應(yīng)的點(diǎn)到旋轉(zhuǎn)到旋轉(zhuǎn)中心的距離不變；③旋轉(zhuǎn)后物體或圖形不變，只是位置變了才能正確解答此題．