Question

【題目】如圖，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠C=90°，BC=16，DC=12，AD=21.動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)D出發(fā)，沿射線DA的方向以每秒2個(gè)單位長(zhǎng)的速度運(yùn)動(dòng)，動(dòng)點(diǎn)Q從點(diǎn)C出發(fā)，在線段CB上以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)的速度向點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)P，Q分別從點(diǎn)D，C同時(shí)出發(fā)，當(dāng)點(diǎn)Q運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)B時(shí)，點(diǎn)P隨之停止運(yùn)動(dòng).設(shè)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t（秒）.

(1)設(shè)△BPQ的面積為S，求S與t之間的函數(shù)關(guān)系式；

(2)當(dāng)t為何值時(shí)，以B、P、Q三點(diǎn)為頂?shù)椎娜�角形是等腰三角形�?/span>

（3）當(dāng)線段PQ與線段AB相交于點(diǎn)O，且2AO=OB時(shí)，求∠BQP的正切值；

（4）是否存在時(shí)刻t，使得PQ⊥BD？若存在，求出t的值；若不存在，請(qǐng)說明理由.

Answer 1

【答案】（1）S= ;(2) t秒；（3） ；（4）t=9，理由見解析.

【解析】試題分析：

(1)△BPQ的高PM=CD，把底BQ用t表示即可；

(2)用t表示出△BPQ的三邊，分三種情況建立關(guān)于t的方程求解；

(3)過點(diǎn)Q作QE⊥AD，垂足為E，在直角△PQE中分別用t表示出兩條直角邊，由2OA=OB，結(jié)合相似三角形的性質(zhì)，建立方程求得t，用正切的定義求解；

(4)假設(shè)存在時(shí)刻t，使得PQ⊥BD，由Rt△BDC∽R(shí)t△QPE，列方程求解.

試題解析：

(1)如圖，過點(diǎn)P作PM⊥BC，垂足為M，則四邊形PDCM為矩形.

∴PM=DC=12，

∴S=；

(2)由圖可以知道：CM=PD=2t，CQ=t

以B、P、Q三點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形是等腰三角形，可以分三種情況：

①若PQ=BQ

在Rt△PMQ中，，

由

計(jì)算得出t=；

②若BP=BQ

在Rt△PMB中，

由BP2=BQ2得：

即

因?yàn)榇朔匠虩o解。

∴PB≠BQ

③若PB=PQ

由

整理，得

計(jì)算得出

綜合上面的討論可以知道：當(dāng)t三點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形是等腰三角形。

(3)如圖，由△OAP∽△OBQ，得

∵AP=2t-21，BQ=16-t

∴2(2t-21)=16-t

∴t=

過點(diǎn)Q作QE⊥AD，垂足為E，

∵PD=2t，ED=QC=t，

∴PE=t。

在Rt△PEQ中，tan∠QPE=

又∵AD∥BC

∴∠BQP=∠QPE

∴tan∠BQP=.

(4)設(shè)存在時(shí)刻t，使得PQ⊥BD

如圖，過點(diǎn)Q作QE⊥AD于E，垂足為E.

∵AD∥BC

∴∠BQP=∠EPQ

∵∠BFQ=∠C=90°

∴∠BQF=∠BDC，

∴∠BDC=∠EPQ

又∵∠C=∠PEQ=90°，

∴Rt△BDC∽Rt△QPE

∴。

解得t=9.

所以，當(dāng)t=9秒時(shí)，PQ⊥BD.