Question

【題目】如圖，在平面直角坐標系中，直線分別交x軸，y軸于點A，C，點D（m，4）在直線AC上，點B在x軸正半軸上，且OB=2OC．點E是y軸上任意一點，連結DE，將線段DE按順時針旋轉90°得線段DG，作正方形DEFG，記點E為（0，n）．

（1）求點D的坐標；

（2）記正方形DEFG的面積為S，

① 求S關于n的函數關系式；

② 當DF∥x軸時，求S的值；

（3）是否存在n的值，使正方形的頂點F或G落在△ABC的邊上？若存在，求出所有滿足條件的n的值；若不存在，說明理由．

Answer 1

【答案】（1）點D的坐標為（-3，4）；（2）①S=（n-4）2+9；②S=（7-4）2+9=18；當n=或21或3或時，正方形的頂點F或G落在△ABC的邊上．

【解析】試題分析：（1）由于點D（m，4）在直線AC上，代入直線AC的解析式可得關于m的方程，解方程即可得到點D的坐標為（﹣3，4）；

（2）①如圖1，過點D作DH⊥y軸于H，則EH=|n﹣4|，根據正方形的面積公式和勾股定理可得S關于n的函數關系式；

②當DF∥x軸時，點H即為正方形DEFG的中心，可得n=7，再代入函數關系式即可得到S的值；

（3）根據待定系數法可得BC為： ；再分四種情況：①當點F落在BC邊上時；②當點G落在BC邊上時；③當點F落在AB邊上時；④當點G落在AC邊上時；進行討論可得所有滿足條件的n的值．

試題解析：解：（1）∵點D（m，4）在直線AC上；

∴4=m+8，解得m=﹣3，∴點D的坐標為（﹣3，4）；

（2）①如圖1，過點D作DH⊥y軸于H，則EH=|n﹣4|

∴S=DE2=EH2+DH2=（n﹣4）2+9；

②當DF∥x軸時，點H即為正方形DEFG的中心，∴EH=DH=3，∴n=4+3=7，∴S=（7﹣4）2+9=18；

（3）∵OB=2OC=16，∴B為（16，0），∴BC為： ；

①當點F落在BC邊上時，如圖2，作DM⊥y軸于M，FN⊥y軸于N．在△DEM與△EFN中， ，∴△DEM≌△EFN（AAS），∴NF=EM=n﹣4，EN=DM=3

∴F為（n﹣4，n﹣3）

∴n﹣3=﹣（n﹣4）+8，∴n=；

②當點G落在BC邊上時，如圖3，作DM⊥y軸于M，GN⊥DM軸于N，由①同理可得△DEM≌△GDN，∴GN=DM=3，DN=EM=n﹣4，∴點G縱坐標為1，∴，∴x=14，∴DN=14+3=17=n﹣4，∴n=21；

③當點F落在AB邊上時，如圖4，作DM⊥y軸于M，由①同理可得△DEM≌△EFO，∴OE=DM=3，即n=3；

④當點G落在AC邊上時，如圖5．∵∠CDE=∠AOC=90°，∠DCE=∠OCA，∴△DCE∽△OCA，∴，∴，∴n=，顯然，點G不落在AB邊上，點F不落在AC邊上，故只存在以上四種情況．

綜上可得，當n=或21或3或時，正方形的頂點F或G落在△ABC的邊上．