Question

已知：如圖，△ABC是等腰直角三角形，D為斜邊AB上任意一點（不與A，B重合），連接CD，作EC⊥DC，且EC=DC，連接AE．
（1）求證：∠E+∠ADC=180°．
（2）猜想：當點D在何位置時，四邊形AECD是正方形？說明理由．

Answer 1

分析：（1）由等腰直角三角形ABC的兩腰相等的性質(zhì)推知AC=CB，根據(jù)已知條件∠ACB=∠DCE=90°求得∠ACE=90°-∠ACD=∠DCB，再加上已知條件DC=EC，可以根據(jù)全等三角形的判定定理SAS判定△ACE≌△BCD；則由全等三角形的對應角相等的性質(zhì)得出∠EAC=∠B=45°，然后根據(jù)四邊形內(nèi)角和為360°即可證明；
（2）利用等腰直角三角形的性質(zhì)得出CD=AD=BD，∠CDA=90°，進而得出四邊形AECD是平行四邊形，以及平行四邊形AECD是矩形，再利用EC=CD，則矩形AECD是正方形．

解答：（1）證明：如圖1，
∵△ABC是等腰直角三角形，∠ACB=90°，
∴AC=CB，∠BAC=∠B=45°，
∵∠ACB=∠DCE=90°，
∴∠ACE=90°-∠ACD=∠DCB，
在△ACE和△BCD中，

AC=BC   ∠ACE=∠BCD EC=DC

，
∴△ACE≌△BCD（SAS），
∴∠EAC=∠B=45°，
∴∠EAB=∠EAC+∠CAB=45°+45°=90°，
∴∠E+∠ADC=360°-∠EAD-∠ECD=360°-90°-90°=180°．

（2）解：當點D在AB中點時，四邊形AECD是正方形．理由如下：
如圖2，∵△ABC是等腰直角三角形，點D在AB中點，
∴CD=AD=BD，∠CDA=90°，
∵EC⊥CD，
∴∠ECD=90°，
∴EC∥AD，
∵EC

∥

.

AD，
∴四邊形AECD是平行四邊形，
∵∠ECD=90°，
∴平行四邊形AECD是矩形，
∵EC=CD，
∴矩形AECD是正方形．

點評：本題主要考查了等腰直角三角形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)以及正方形的判定和矩形的判定等知識．注意，在證明△ACE≌△BCD時，一定要找準相對應的邊與角．