Question

【題目】在平面直角坐標系xOy中，直線y＝﹣x+2與x軸、y軸分別交于A、B兩點，直線BC交x軸負半軸于點C，∠BCA＝30°，如圖①．

（1）求直線BC的解析式．

（2）在圖①中，過點A作x軸的垂線交直線CB于點D，若動點M從點A出發(fā)，沿射線AB方向以每秒個單位長度的速度運動，同時，動點N從點C出發(fā)，沿射線CB方向以每秒2個單位長度的速度運動，直線MN與直線AD交于點S，如圖②，設運動時間為t秒，當△DSN≌△BOC時，求t的值．

（3）若點M是直線AB在第二象限上的一點，點N、P分別在直線BC、直線AD上，是否存在以M、B、N、P為頂點的四邊形是菱形．若存在，請直接寫出點M的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）y＝x+2；（2），t＝秒或t＝+4秒時，△DSN≌△BOC；（3）M（+4）或M（）或M（）．

【解析】

（1）求出B，C的坐標，由待定系數(shù)法可求出答案；

（2）分別過點M，N作MQ⊥x軸，NP⊥x軸，垂足分別為點Q，P．分兩種情況：（Ⅰ）當點M在線段AB上運動時，（Ⅱ）當點M在線段AB的延長線上運動時，由DS＝BO＝2，可得出t的方程，解得t的值即可得出答案；

（3）設點M（a，﹣a+2），N（b，），P（2，c），點B（0，2），分三種情況：（Ⅰ）當以BM，BP為鄰邊構成菱形時，（Ⅱ）當以BP為對角線，BM為邊構成菱形時，（Ⅲ）當以BM為對角線，BP為邊構成菱形時，由菱形的性質可得出方程組，解方程組即可得出答案．

解：（1）∵直線y＝﹣x+2與x軸、y軸分別交于A、B兩點，

∴x＝0時，y＝2，y＝0時，x＝2，

∴A（2，0），B（0，2），

∴OB＝AO＝2，

在Rt△COB中，∠BOC＝90°，∠BCA＝30°，

∴OC＝2，

∴C（﹣2， 0），

設直線BC的解析式為y＝kx+b，代入B，C兩點的坐標得，

，

∴k＝，b＝2，

∴直線BC的解析式為y＝x+2；

（2）分別過點M，N作MQ⊥x軸，NP⊥x軸，垂足分別為點Q，P．

（Ⅰ）如圖1，當點M在線段AB上運動時，

∵CN＝2t，AM＝t，OB＝OA＝2，∠BOA＝∠BOC＝90°，

∴∠BAO＝∠ABO＝45°，

∵∠BCO＝30°，

∴NP＝MQ＝t，

∵MQ⊥x軸，NP⊥x軸，

∴∠NPQ＝∠MQA＝90°，NP∥MQ，

∴四邊形NPQM是矩形，

∴NS∥x軸，

∵AD⊥x軸，

∴AS∥MQ∥y軸，

∴四邊形MQAS是矩形，

∴AS＝MQ＝NP＝t，

∵NS∥x軸，AS∥MQ∥y軸，

∴∠DNS＝∠BCO，∠DSN＝∠DAO＝∠BOC＝90°，

∴當DS＝BO＝2時，

△DSN≌△BOC（AAS），

∵D（2， +2），

∴DS＝+2﹣t，

∴+2﹣t＝2，

∴t＝（秒）；

（Ⅱ）當點M在線段AB的延長線上運動時，如圖2，

同理可得，當DS＝BO＝2時，△DSN≌△BOC（AAS），

∵DS＝t﹣（+2），

∴t﹣（+2）＝2，

∴t＝+4（秒），

綜合以上可得，t＝秒或t＝+4秒時，△DSN≌△BOC．

（3）存在以M、B、N、P為頂點的四邊形是菱形：

M（﹣2﹣2，2+4）或M（﹣2﹣4，2+6）或M（﹣2+2，2）．

∵M是直線AB在第二象限上的一點，點N，P分別在直線BC，直線AD上，

∴設點M（a，﹣a+2），N（b， b+2），P（2，c），點B（0，2），

（Ⅰ）當以BM，BP為鄰邊構成菱形時，如圖3，

∵∠CBO＝60°，∠OBA＝∠OAB＝∠PAF＝45°，

∴∠DBA＝∠MBN＝∠PBN＝75°，

∴∠MBE＝45°，∠PBF＝30°，

∴MB＝ME，PF＝AP，PB＝2PF＝AP，

∵四邊形BMNP是菱形，

∴，

解得，a＝﹣2﹣2，

∴M（﹣2﹣2，2+4）（此時點N與點C重合），

（Ⅱ）當以BP為對角線，BM為邊構成菱形時，如圖4，

過點B作EF∥x軸，ME⊥EF，NF⊥EF，

同（Ⅰ）可知，∠MBE＝45°，∠NBF＝30°，

由四邊形BMNP是菱形和BM＝BN得：

，

解得：a＝﹣2﹣4，

∴M（﹣2﹣4，2+6），

（Ⅲ）當以BM為對角線，BP為邊構成菱形時，如圖5，

作NE⊥y軸，BF⊥AD，

∴∠BNE＝30°，∠PBF＝60°，

由四邊形BMNP是菱形和BN＝BP得，

，

解得：a＝﹣2+2，

∴M（﹣2+2，2）．

綜合上以得出，當以M、B、N、P為頂點的四邊形是菱形時，點M的坐標為：

M（﹣2﹣2，2+4）或M（﹣2﹣4，2+6）或M（﹣2+2，2）．