【題目】如圖,△ABC各頂點(diǎn)坐標(biāo)分別為A(4,4),B(﹣2,2),C(3,0),
①畫出它的以原點(diǎn)O為對(duì)稱中心的△A'B'C';
②在y軸上有一點(diǎn)P,使BP+C'P最小,求出P點(diǎn)坐標(biāo).
【答案】①見解析;②P點(diǎn)坐標(biāo)為(0,)
【解析】
①利用關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)特征寫出A′、B′、C′的坐標(biāo),然后描點(diǎn)即可;
②如圖,BC于y軸的交點(diǎn)即為P點(diǎn),利用兩點(diǎn)之間線段最短得到此時(shí)BP+C′P的值最小,再利用待定系數(shù)法求出直線BC的解析式,從而得到P點(diǎn)坐標(biāo).
解:①如圖,△A'B'C'為所作;
②如圖,BC于y軸的交點(diǎn)即為P點(diǎn),
∵C點(diǎn)和C′點(diǎn)關(guān)于y軸對(duì)稱,
∴PC=PC′,
∴BP+PC′=BP+PC=BC,
∴此時(shí)BP+C′P的值最小,
設(shè)直線BC的解析式為y=kx+b,
把B(﹣2,2),C(3,0)分別代入得,解得 ,
∴直線BC的解析式為y=﹣x+,
∴P點(diǎn)坐標(biāo)為(0,).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】閱讀下面的材料:
解方程x4–7x2+12=0,這是一個(gè)一元四次方程,根據(jù)該方程的特點(diǎn),它的解法通常是:
設(shè)x2=y,則x4=y2.
∴原方程可化為y2–7y+12=0.
∴a=1,b=–7,c=12.
∴△=b2–4ac=(–7)2–4×1×12=1.
∴y═=–.
解得y1=3,y2=4.
當(dāng)y=3時(shí),x2=3,x=±.
當(dāng)y=4時(shí),x2=4,x=±2.
∴原方程有四個(gè)根是:x1=,x2=–,x3=2,x4=–2.
以上方法叫換元法,達(dá)到了降次的目的,體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的轉(zhuǎn)化思想,運(yùn)用上述方法解答下列問題.
(1)解方程:(x2+x)2–5(x2+x)+4=0;
(2)已知實(shí)數(shù)a,b滿足(a2+b2)2–3(a2+b2)–10=0,試求a2+b2的值.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,Rt△ABC中,∠C=90°,點(diǎn)P為AC邊上的一點(diǎn),延長BP至點(diǎn)D,使得AD=AP,當(dāng)AD⊥AB時(shí),過D作DE⊥AC于E,AB-BC=4,AC=8,則△ABP面積為_____
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,平面直角坐標(biāo)系中,已知點(diǎn)A(8,0)和點(diǎn)B(0,6),點(diǎn)C是AB的中點(diǎn),點(diǎn)P在折線AOB上,直線CP截△AOB,所得的三角形與△AOB相似,那么點(diǎn)P的坐標(biāo)是_____.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在Rt△ABC中,∠C=90°,CA=12cm,BC=12cm;動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)C開始沿CA以2cm/s的速度向點(diǎn)A移動(dòng),動(dòng)點(diǎn)Q從點(diǎn)A開始沿AB以4cm/s的速度向點(diǎn)B移動(dòng),動(dòng)點(diǎn)R從點(diǎn)B開始沿BC以 2cm/s的速度向點(diǎn)C移動(dòng).如果P、Q、R分別從C、A、B同時(shí)移動(dòng),移動(dòng)時(shí)間為t(0<t<6)s.
(1)∠CAB的度數(shù)是 ;
(2)以CB為直徑的⊙O與AB交于點(diǎn)M,當(dāng)t為何值時(shí),PM與⊙O相切?
(3)寫出△PQR的面積S隨動(dòng)點(diǎn)移動(dòng)時(shí)間t的函數(shù)關(guān)系式,并求S的最小值及相應(yīng)的t值;
(4)是否存在△APQ為等腰三角形?若存在,求出相應(yīng)的t值;若不存在請說明理由.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,△ABC為等腰直角三角形,∠ACB=90°,拋物線經(jīng)過A,B兩點(diǎn),其中點(diǎn)A,C的坐標(biāo)分別為(1,0),(﹣4,0),拋物線的頂點(diǎn)為點(diǎn)D.
(1)求拋物線的解析式;
(2)點(diǎn)E是直角三角形ABC斜邊AB上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)(不與A,B重合),過點(diǎn)E作x軸的垂線,交拋物線于點(diǎn)F,當(dāng)線段FE的長度最大時(shí),求點(diǎn)E的坐標(biāo);
(3)在(2)的條件下,拋物線上是否存在一點(diǎn)P,使△PEF是以EF為直角邊的直角三角形?若存在,求出所有點(diǎn)P的坐標(biāo);若不存在,請說明理由.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在 中, ,將 繞點(diǎn) A 逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)到的位置,使得 ,則 的度數(shù)是多少?
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在足夠大的空地上有一段長為米的舊墻,某人利用舊墻和100米長的木欄圍成一個(gè)矩形菜園.
(1)如圖1,已知矩形菜園的一邊靠墻,且,設(shè)米.
①若,所圍成的矩形菜園的面積為450平方米,求所利用舊墻的長;
②求矩形菜園面積的最大值;
(2)如圖2,若,則舊墻和木欄能圍成的矩形菜園面積的最大值是 米2.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】若兩個(gè)二次函數(shù)圖象的頂點(diǎn),開口方向都相同,則稱這兩個(gè)二次函數(shù)為“同簇二次函數(shù)”.
(1)請寫出兩個(gè)為“同簇二次函數(shù)”的函數(shù);
(2)已知關(guān)于x的二次函數(shù)y1=2x2-4mx+2m2+1和y2=ax2+bx+2m2+5,其中y1的圖象經(jīng)過點(diǎn)A(1,1),y3=y1+y2,若y3與y1為“同簇二次函數(shù)”,求函數(shù)y2的表達(dá)式,并求出當(dāng)0≤x≤3時(shí),y2的最大值.
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