Question

【題目】如圖，在△ABC中，AB=BC，D是AC中點，BE平分∠ABD交AC于點E，點O是AB上一點，⊙O過B、E兩點，交BD于點G，交AB于點F．

（1）判斷直線AC與⊙O的位置關系，并說明理由；
（2）當BD=6，AB=10時，求⊙O的半徑．

Answer 1

【答案】
（1）解：AC與⊙O相切．理由如下：

連結OE，如圖，

∵BE平分∠ABD，

∴∠OBE=∠DBO，

∵OE=OB，

∴∠OBE=∠OEB，

∴∠OBE=∠DBO，

∴OE∥BD，

∵AB=BC，D是AC中點，

∴BD⊥AC，

∴OE⊥AC，

∴AC與⊙O相切；

（2）解：設⊙O半徑為r，則AO=10﹣r，

由（1）知，OE∥BD，

∴△AOE∽△ABD，

∴ ，即 ，

∴r= ，

即⊙O半徑是 ．

【解析】（1）根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)，得到對邊對等角，由角平分線的定義得到內(nèi)錯角相等，得到OE∥BD，根據(jù)等腰三角形的三線合一得到BD⊥AC，得到AC與⊙O相切；（2）根據(jù)（1）知，OE∥BD，得到△AOE∽△ABD，得到比例，求出⊙O的半徑.
【考點精析】本題主要考查了切線的判定定理和相似三角形的判定與性質(zhì)的相關知識點，需要掌握切線的判定方法：經(jīng)過半徑外端并且垂直于這條半徑的直線是圓的切線；相似三角形的一切對應線段(對應高、對應中線、對應角平分線、外接圓半徑、內(nèi)切圓半徑等）的比等于相似比；相似三角形周長的比等于相似比；相似三角形面積的比等于相似比的平方才能正確解答此題．