Question

18．如圖，∠C=90°，BC=3，AB=5，點D是BC上一動點，CD=x，DE∥AB交AC于點E，以直線DE為軸作△CDE的軸對稱△PDE，△PDE落在△ABC內(nèi)的面積為y，則下列能刻畫y與x之間函數(shù)關系的圖象是（　　）

• A．
• B．
• C．
• D．

Answer 1

分析 根據(jù)DE∥AB可將EC用x表示出來，從而可以得到y(tǒng)與x的關系式，要將面積分成點P在△ABC內(nèi)及△ABC外兩種情況進行分析，就可以得到正確的函數(shù)圖象．

解答 解：∵∠C=90°BC=3，AB=5∴AC=4
∵DE∥AB，∴$\frac{CD}{CB}=\frac{CE}{AC}$，
∵CD=x∴$\frac{x}{3}=\frac{EC}{4}$ 化簡得 EC=$\frac{4}{3}$x
當點P落在△ABC內(nèi)部時，y=S_△PDE=$\frac{1}{2}•x•\frac{4}{3}x$=$\frac{2}{3}$x²（0≤x≤$\frac{3}{2}$），此時圖象應為拋物線，且y隨x的增大而增大；
當點P落在AB上時，如圖1，

∵DE∥AB，
∴∠DEF=∠EPA，∠CED=∠A
∵∠CED=∠DEP EC=EP，
∴∠A=∠EPA，
∴AE=EP=EC=2，
同理可得DP=DB=DC=$\frac{3}{2}$，
∴y=$\frac{1}{2}$×2×$\frac{3}{2}$=$\frac{3}{2}$，即當x=$\frac{3}{2}$時，y=$\frac{3}{2}$；
當點P落在AB外時，設PE與AB交于點M，PD與AB交于點N，如圖2，

同理可得EM=AE  DN=DB，
∵AE=4-EC  BD=3-CD
∴PM=PE-ME=$\frac{4}{3}$x-（4-$\frac{4}{3}$x）=$\frac{8}{3}$x-4，PN=PD-ND=x-（3-x）=2x-3，
∴y=S_△PDE-S_△PMN=$\frac{2}{3}$x²-$\frac{1}{2}×（\frac{8}{3}x-4）（2x-3）$=-2x²+8x-6=-2（x-2）²+2（$\frac{3}{2}$＜x≤3）
當x=2時，y有最大值為2．則圖象為拋物線，應先上升再下降．
故選：A．

點評 本題考查了折疊的性質、等腰三角形性質及平行線分線段成比例定理，解題的關鍵是要通過平行得到三角形邊之間的關系，根據(jù)點動后形成的不同圖形來進行分類討論．