Question

7．如圖，△ABC內(nèi)接于⊙O，AB 是直徑，過點A作直線MN，且∠MAC=∠ABC．
（1）求證：MN是⊙O的切線；
（2）設(shè)D是弧AC的中點，連結(jié)BD交AC于點G，過點D作DE⊥AB于點E，交AC于點F．
①求證：FD=FG．
②若BC=2，AB=3，試求AE的長．

Answer 1

分析 （1）即證∠MAC+∠CAB=90°．因為AB為直徑，所以∠ACB=90°，∠ABC+∠CAB=90°．由∠MAC=∠ABC得證；
（2）①證明∠BDE=∠DGF即可．∠BDE=90°-∠ABD；∠DGF=∠CGB=90°-∠CBD．因為D是弧AC的中點，所以∠ABD=∠CBD．問題得證；②連接AD、CD，作DH⊥BC，交BC的延長線于H點．證明Rt△ADE≌Rt△CDH，得AE=CH．根據(jù)AB=BH求解．

解答 （1）證明：∵AB是直徑，
∴∠ACB=90°，
∴∠CAB+∠ABC=90°；
∵∠MAC=∠ABC，
∴∠MAC+∠CAB=90°，即MA⊥AB，
∴MN是⊙O的切線；

（2）①證明：∵D是弧AC的中點，
∴∠DBC=∠ABD，
∵AB是直徑，
∴∠CBG+∠CGB=90°，
∵DE⊥AB，
∴∠FDG+∠ABD=90°，
∵∠DBC=∠ABD，
∴∠FDG=∠CGB=∠FGD，
∴FD=FG；

②解：連接AD、CD，作DH⊥BC，交BC的延長線于H點．
∵∠DBC=∠ABD，DH⊥BC，DE⊥AB，
∴DE=DH，
在Rt△BDE與△RtBDH中，$\left\{\begin{array}{l}{DH=DE}\\{BD=BD}\end{array}\right.$，
∴△RtBDE≌△RtBDH，
∴BE=BH，
∵D是弧AC的中點，
∴AD=DC，
在Rt△ADE與Rt△CDH中，$\left\{\begin{array}{l}{DE=DH}\\{AD=CD}\end{array}\right.$，
∴Rt△ADE≌Rt△CDH．
∴AE=CH．
∴BE=AB-AE=BC+CH=BH，即3-AE=2+AE，
∴AE=$\frac{1}{2}$．

點評 此題考查了切線的判定、等腰三角形的判定、三角形全等等知識點，綜合性強(qiáng)；特別是最后一個問題正確的作出輔助線構(gòu)造全等三角形求解是解題的關(guān)鍵．