Question

14．由于交通不暢，某山區(qū)生產(chǎn)的一種特產(chǎn)只能在當(dāng)?shù)劁N售，且每年的銷售利潤(rùn)P（萬元）與投資金額x（萬元）之間滿足二次函數(shù)關(guān)系．當(dāng)每年投資金額為40萬元時(shí)，銷售利潤(rùn)為60萬元；當(dāng)每年投資金額為60萬元時(shí)，銷售利潤(rùn)取得最大值64萬元，當(dāng)?shù)卣�府為開發(fā)該特產(chǎn)的銷售，規(guī)劃在五年內(nèi)對(duì)該項(xiàng)目投入100萬元的銷售投資，在實(shí)施規(guī)劃的前兩年，每年都從100萬元中撥出50萬元用于修建一條公路，兩年修成，通車前該特產(chǎn)只能在當(dāng)?shù)劁N售；公路通車后的三年中，該特產(chǎn)既在本地銷售，也在外地銷售．在外地銷售時(shí)，每年的銷售利潤(rùn)為：每投入x萬元，可獲利潤(rùn)Q（萬元）滿足Q$Q=-\frac{99}{100}{（100-x）^2}+\frac{294}{5}（100-x）+160$．
（1）求每年的銷售利潤(rùn)P（萬元）與投資金額x（萬元）之間的函數(shù)關(guān)系式．
（2）若按規(guī)劃實(shí)施，
①前兩年銷售利潤(rùn)的最大值是多少？
②五年銷售利潤(rùn)（扣除修路后）的最大值是多少？
（3）該規(guī)劃是否具有實(shí)施價(jià)值？為什么？

Answer 1

分析 （1）根據(jù)題意設(shè)P=a（x-60）²+64，將x=40、y=60代入求出a即可得；
（2）①注意前兩年：0≤x≤50，此時(shí)因?yàn)镻隨x的增大而增大，所以x=50時(shí)，P值最大，代入求出相應(yīng)的P的值即可；
②后三年：設(shè)每年獲利y，設(shè)當(dāng)?shù)赝顿Y額為a，則外地投資額為100-a，即可得函數(shù)y=P+Q=-$\frac{4}{25}$（a-60）²+64+[-$\frac{99}{100}$a²+$\frac{294}{5}$a+160]，整理求解即可求得最大值，則可求得按規(guī)劃實(shí)施，5年所獲利潤(rùn)（扣除修路后）的最大值；
（3）比較不實(shí)施規(guī)劃時(shí)5年的總利潤(rùn)與實(shí)施規(guī)劃方案5年的銷售總利潤(rùn)可知，該方案是具有極大的實(shí)施價(jià)值．

解答 解：（1）根據(jù)題意，設(shè)P=a（x-60）²+64，
將x=40，y=60代入，得：400a+64=0，解得：a=-$\frac{4}{25}$，
故P與x的函數(shù)關(guān)系式為：P=-$\frac{4}{25}$（x-60）²+64；

（2）①前兩年：0≤x≤50，此時(shí)因?yàn)镻隨x的增大而增大，
所以x=50時(shí)，P值最大，即這兩年的獲利最大為：-$\frac{4}{25}$×100+64=48（萬元）；

②后三年：設(shè)每年獲利y，設(shè)當(dāng)?shù)赝顿Y額為a，則外地投資額為100-a，
∴Q=-$\frac{99}{100}$[100-（100-a）]²+$\frac{294}{5}$[100-（100-a）]+160=-$\frac{99}{100}$a²+$\frac{294}{5}$a+160，
∴y=P+Q=-$\frac{4}{25}$（a-60）²+64+[-$\frac{99}{100}$a²+$\frac{294}{5}$a+160]=-$\frac{23}{20}$a²+78a-352，
當(dāng)x=-$\frac{78}{2×（-\frac{23}{20}）}$=$\frac{780}{23}$時(shí)，y取得最大值，最大值為$\frac{4×（-\frac{23}{20}）×（-352）-7{8}^{2}}{4×（-\frac{23}{20}）}$=$\frac{22324}{23}$（萬元），
∴這三年的獲利最大為$\frac{22324}{23}$×3=$\frac{66972}{23}$（萬元），
∴5年所獲利潤(rùn)（扣除修路后）的最大值是：48+$\frac{66972}{23}$-50×2=$\frac{65776}{23}$（萬元）；

（3）有很大的實(shí)施價(jià)值．
如果不實(shí)施規(guī)劃，5年的總利潤(rùn)為5×64=320（萬元），
規(guī)劃后5年總利潤(rùn)為$\frac{65776}{23}$萬元，不實(shí)施規(guī)劃方案僅為320萬元，故具有很大的實(shí)施價(jià)值．

點(diǎn)評(píng) 此題考查了二次函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用問題．解題的關(guān)鍵是理解題意，找到合適函數(shù)取得最大值，是解此題的關(guān)鍵，還要注意后三年的最大值的求解方法．