Question

已知Rt△ABC，∠B=90°，直線EF分別于兩直角邊AB、AC交于E、F兩點，且EF∥AC．P是斜邊AC的中點，連接PE、PF，且已知AB=

6

5

，BC=

8

5

．
（1）如圖1，當(dāng)E、F均為兩直角邊中點時，求證：四邊形EPFB是矩形，并求出此時EF的長．
（2）如圖2，設(shè)EF的長度為x（x＞0），當(dāng)sin∠EPF=

4

5

（∠EPF為銳角）時，用含x的代數(shù)式表示EP的長度．
（3）記△PEF 的面積為S，則當(dāng)EP為多少時，S的值最大，并求出該最大值．

Answer 1

考點：相似三角形的判定與性質(zhì),二次函數(shù)的最值,矩形的判定與性質(zhì)

專題：

分析：（1）先求出四邊形EPFB是平行四邊形，再由∠B=90°得出四邊形EPFB是矩形，利用勾股定理求出EF．
（2）利用三角函數(shù)求出角的關(guān)系，再運用三角形相似求出x與EP的關(guān)系式．
（3）作FH⊥AC交AC于點H，設(shè)EF=x，得出BF，CF及FH的值，再利用三角形面積求出EF及最大值，利用中位線定理即可求出EP的值．

解答：解：如圖1，

∵E是AB的中點，P是AC的中點，
∴EP∥BC，且EP=

1

2

BC，
∵F是BC的中點，
∴EP∥BF，且EP=BF，
四邊形EPFB是平行四邊形，
∵∠B=90°，
∴四邊形EPFB是矩形，
∵AB=

6

5

，BC=

8

5

．
∴BE=

3

5

，BF=

4

5

，
∴EF=

( 3 5 )2+( 4 5 )2

=1．
（2）如圖2，

∵sinA=

BC

AC

=

8 5

2

=

4

5

，sin∠EPF=

4

5

，
∴∠A=∠EPF，
∵EF∥AC，
∴∠APE=∠PEF，
∴△APE∽△PEF．
∴

AP

EP

=

EP

EF

，
∵AP=1，EP=x，
∴EP²=x，
∴EP=

x

．
（3）如力圖3，作FH⊥AC交AC于點H，

∵EF∥AC，
∴△BEF∽△BAC，
設(shè)EF=x，則BF=

4

5

x，CF=

8

5

-

4

5

x，
∴FH=

3

5

CF=

24

25

-

12

25

x，
∴S=

1

2

EF•FH=-

6

25

x²+

12

25

x=-

6

25

（x-1）²+

6

25

∴當(dāng)x=1時，S最大為

6

25

，
∵EF=1
∴此時點E，F(xiàn)為中點，
∴EP=

1

2

BC=

4

5

．

點評：本題主要考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，矩形的判定與性質(zhì)及二次函數(shù)的最值，解題的關(guān)鍵是運用三角形相似及三角函數(shù)求出線段之間的關(guān)系．