【題目】如圖,ABC是等邊三角形,AB=6cm,D為邊AB中點(diǎn).動(dòng)點(diǎn)P、Q在邊AB上同時(shí)從點(diǎn)D出發(fā),點(diǎn)P沿D→A以1cm/s的速度向終點(diǎn)A運(yùn)動(dòng).點(diǎn)Q沿D→B→D以2cm/s的速度運(yùn)動(dòng),回到點(diǎn)D停止.以PQ為邊在AB上方作等邊三角形PQN.將PQN繞QN的中點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180°得到MNQ.設(shè)四邊形PQMN與ABC重疊部分圖形的面積為S(cm2),點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t(s)(0t3).

(1)當(dāng)點(diǎn)N落在邊BC上時(shí),求t的值.

(2)當(dāng)點(diǎn)N到點(diǎn)A、B的距離相等時(shí),求t的值.

(3)當(dāng)點(diǎn)Q沿D→B運(yùn)動(dòng)時(shí),求S與t之間的函數(shù)表達(dá)式.

(4)設(shè)四邊形PQMN的邊MN、MQ與邊BC的交點(diǎn)分別是E、F,直接寫出四邊形PEMF與四邊形PQMN的面積比為2:3時(shí)t的值.

【答案】(1)(2)2(3)S=S菱形PQMN=2SPNQ=t2;(4)t=1或

【解析】

試題分析:(1)由題意知:當(dāng)點(diǎn)N落在邊BC上時(shí),點(diǎn)Q與點(diǎn)B重合,此時(shí)DQ=3;

(2)當(dāng)點(diǎn)N到點(diǎn)A、B的距離相等時(shí),點(diǎn)N在邊AB的中線上,此時(shí)PD=DQ;

(3)當(dāng)0t時(shí),四邊形PQMN與ABC重疊部分圖形為四邊形PQMN;當(dāng)t時(shí),四邊形PQMN與ABC重疊部分圖形為五邊形PQFEN.

(4)MN、MQ與邊BC的有交點(diǎn)時(shí),此時(shí)t,列出四邊形PEMF與四邊形PQMN的面積表達(dá)式后,即可求出t的值.

試題解析:(1)∵△PQN與ABC都是等邊三角形,

當(dāng)點(diǎn)N落在邊BC上時(shí),點(diǎn)Q與點(diǎn)B重合.

DQ=3

2t=3.

t=

(2)當(dāng)點(diǎn)N到點(diǎn)A、B的距離相等時(shí),點(diǎn)N在邊AB的中線上,

PD=DQ,

當(dāng)0t時(shí),

此時(shí),PD=t,DQ=2t

t=2t

t=0(不合題意,舍去),

當(dāng)t3時(shí),

此時(shí),PD=t,DQ=6﹣2t

t=6﹣2t,

解得t=2;

綜上所述,當(dāng)點(diǎn)N到點(diǎn)A、B的距離相等時(shí),t=2;

(3)由題意知:此時(shí),PD=t,DQ=2t

當(dāng)點(diǎn)M在BC邊上時(shí),

MN=BQ

PQ=MN=3t,BQ=3﹣2t

3t=3﹣2t

解得t=

如圖①,當(dāng)0t時(shí),

SPNQ=PQ2=t2;

S=S菱形PQMN=2SPNQ=t2

如圖②,當(dāng)t時(shí),

設(shè)MN、MQ與邊BC的交點(diǎn)分別是E、F,

MN=PQ=3t,NE=BQ=3﹣2t,

ME=MN﹣NE=PQ﹣BQ=5t﹣3,

∵△EMF是等邊三角形,

SEMF=ME2=(5t﹣3)2

;

(4)MN、MQ與邊BC的交點(diǎn)分別是E、F,

此時(shí)t

t=1或

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