Question

5．操作發(fā)現(xiàn)：將一副直角三角板如圖①擺放，能夠發(fā)現(xiàn)等腰直角三角板ABC的斜邊與含30°角的直角三角板DEF的長直角邊DE重合．
問題解決：將圖①中的等腰直角三角板ABC繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)30°，點(diǎn)C落在BF上，AC與BD交于點(diǎn)O，連接CD，如圖②．
（1）求證：AD∥BF；
（2）若AD=2，求AB的長．

Answer 1

分析 （1）作AM⊥BC，DN⊥BC，根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)得到AM=$\frac{1}{2}$BC，由于∠DBC=30°，得到DN=$\frac{1}{2}$BD，推出四邊形AMND是矩形，根據(jù)矩形的性質(zhì)即可得到結(jié)論；
（2）作AM⊥BC，DN⊥BC，設(shè)DF=a，解直角三角形得到NF=$\frac{1}{2}$a，DN=$\frac{\sqrt{3}}{2}$a，求得AM=DN=$\frac{\sqrt{3}}{2}$a，根據(jù)矩形的性質(zhì)得到MN=AD=2，列方程即可得到結(jié)論．

解答 解：（1）如圖2，作AM⊥BC，DN⊥BC，
∵△ABC是等腰直角三角形，
∴AM=$\frac{1}{2}$BC，
∵∠DBC=30°，
∴DN=$\frac{1}{2}$BD，
∵BD=BC，
∴AM=DN，
∵AM⊥BC，DN⊥BC，
∴AM∥DN，
∴四邊形AMND是矩形，
∴AD∥BC，

（2）如圖2，作AM⊥BC，DN⊥BC，
設(shè)DF=a，
∵∠F=60°，
∴NF=$\frac{1}{2}$a，DN=$\frac{\sqrt{3}}{2}$a，
∴AM=DN=$\frac{\sqrt{3}}{2}$a，
∵BM=AM=$\frac{\sqrt{3}}{2}$a，
由（1）知四邊形AMND是矩形，
∴MN=AD=2，
∵∠BDF=90°，
∴BF=2DF=2a，
∴BF=BM+MN+NF=$\frac{\sqrt{3}}{2}$a+2+$\frac{1}{2}$a=2a，
∴a=2-$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，
∴BM=$\sqrt{3}$-1，
∴AB=$\sqrt{2}$BM=$\sqrt{6}$-$\sqrt{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，平行線的判定，等腰直角三角形的性質(zhì)，矩形的判定和性質(zhì)，特殊角的三角函數(shù)，正確的作出輔助線是解題的關(guān)鍵．