Question

如圖1，△ABC是直角三角形，將△ABC補(bǔ)成矩形，使△ABC的兩個(gè)頂點(diǎn)為矩形一邊的兩個(gè)端點(diǎn)，第三個(gè)頂點(diǎn)落在矩形這一邊的對(duì)邊上．那么符合條件的矩形可以畫(huà)2個(gè)（即矩形ABCD和矩形AEFB）

（1）設(shè)圖1中矩形ABCD和矩形AEFB的面積為S₁和S₂，則S₁

=

S₂；
（2）如圖2，△ABC為銳角三角形（BC＞AC＞AB），按文中要求把它補(bǔ)成矩形．
①請(qǐng)畫(huà)出盡可能多符合條件的矩形；
②這些矩形面積是否相等？如果不相等，哪個(gè)矩形的面積最大？
③這些矩形周長(zhǎng)是否相等？如果不相等，哪個(gè)矩形的周長(zhǎng)最大？

Answer 1

分析：（1）易得原有三角形都等于所畫(huà)矩形的一半，那么這兩個(gè)矩形的面積相等．
（2）可讓原銳角三角形的任意一邊為矩形的一邊，另一頂點(diǎn)在矩形的另一邊的對(duì)邊上，可得三種情況；再根據(jù)三個(gè)矩形的面積等于△ABC面積的2倍，即可得出相等；再利用求差法比較三個(gè)矩形的周長(zhǎng)即可．

解答：解：（1）因?yàn)榫匦蜛BCD的面積是△ABC面積的2倍，而矩形AEFC與△ABC的底與高相同，則也是△ABC面積的2倍，
所以S₁=S₂；

（2）①根據(jù)要求，畫(huà)出符合條件的矩形如下：

②畫(huà)出的矩形的面積相等，因?yàn)檫@三個(gè)矩形的面積都等于△ABC面積的2倍．
③設(shè)矩形BCED，ACHQ，ABGF的周長(zhǎng)分別為L(zhǎng)₁，L₂，L₃，BC=a，AC=b，AB=c，易得三個(gè)矩形的面積相等，設(shè)為S，
∴L₁=

2S

a

+2a，L₂=

2S

b

+2b，L₃=

2S

c

+2c，
∵L₁-L₂=2（a-b）

ab-S

ab

，而a-b＞0，ab-s＞0，ab＞0，
∴L₁-L₂＞0，
∴L₁＞L₂，同理可得L₂＞L₃，
∴以AB為邊長(zhǎng)的矩形周長(zhǎng)最�。�
以BC為邊的矩形周長(zhǎng)最長(zhǎng)；
故答案為；=．

點(diǎn)評(píng)：此題考查了作圖-應(yīng)用與設(shè)計(jì)作圖，注意運(yùn)用類比的方法畫(huà)圖，要比較兩個(gè)數(shù)或式子的大小，一般采用求差法．