Question

【題目】把一邊長為40cm的正方形硬紙板，進行適當?shù)募舨�，折成一個長方形盒子（紙板的厚度忽略不計）．
（1）如圖，若在正方形硬紙板的四角各剪一個同樣大小的正方形，將剩余部分折成一個無蓋的長方形盒子． ①要使折成的長方形盒子的底面積為484cm2 ， 那么剪掉的正方形的邊長為多少？
②折成的長方形盒子的側(cè)面積是否有最大值？如果有，求出這個最大值和此時剪掉的正方形的邊長；如果沒有，說明理由．
（2）若在正方形硬紙板的四周剪掉一些矩形（即剪掉的矩形至少有一條邊在正方形硬紙板的邊上），將剩余部分折成一個有蓋的長方形盒子，若折成的一個長方形盒子的表面積為550cm2 ， 求此時長方形盒子的長、寬、高（只需求出符合要求的一種情況）．

Answer 1

【答案】
（1）解：①設(shè)剪掉的正方形的邊長為xcm．

則（40﹣2x）2=484，

即40﹣2x=±22，

解得x1=31（不合題意，舍去），x2=9，

∴剪掉的正方形的邊長為9cm．

②側(cè)面積有最大值．

設(shè)剪掉的小正方形的邊長為acm，盒子的側(cè)面積為ycm2，

則y與a的函數(shù)關(guān)系為：y=4（40﹣2a）a，

即y=﹣8a2+160a，

即y=﹣8（a﹣10）2+800，

∴a=10時，y最大=800．

即當剪掉的正方形的邊長為10cm時，長方形盒子的側(cè)面積最大為800cm2

（2）解：在如圖的一種剪裁圖中，設(shè)剪掉的長方形盒子的邊長為xcm．

2（40﹣2x）（20﹣x）+2x（20﹣x）+2x（40﹣2x）=550，

解得：x1=﹣35（不合題意，舍去），x2=15．

∴剪掉的長方形盒子的邊長為15cm．

40﹣2×15=10（cm），

20﹣15=5（cm），

此時長方體盒子的長為15cm，寬為10cm，高為5cm．

【解析】（1）①假設(shè)剪掉的正方形的邊長為xcm，根據(jù)題意得出（40﹣2x）2=484，求出即可；②假設(shè)剪掉的正方形的邊長為acm，盒子的側(cè)面積為ycm2 ， 則y與x的函數(shù)關(guān)系為：y=4（40﹣2a）a，利用二次函數(shù)最值求出即可；（2）假設(shè)剪掉的長方形盒子的高為tcm，利用折成的一個長方形盒子的表面積為550cm2 ， 得出等式方程求出即可．