Question

【題目】如圖1所示，OA是⊙O的半徑，點(diǎn)D為OA上的一動(dòng)點(diǎn)，過D作線段CD⊥OA交⊙O于點(diǎn)F，過點(diǎn)C作⊙O的切線BC，B為切點(diǎn)，連接AB，交CD于點(diǎn)E．

（1）求證：CB=CE；

（2）如圖2，當(dāng)點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)到OA的中點(diǎn)時(shí)，CD剛好平分，求證：△BCE是等邊三角形；

（3）如圖3，當(dāng)點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)到與點(diǎn)O重合時(shí)，若⊙O的半徑為2，且∠DCB=45°，求線段EF的長(zhǎng)．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）證明見解析；（3）

【解析】（1）在圖1中，連接OB，根據(jù)切線的性質(zhì)可得出∠OBC=90°，由OA=OB可得出∠DAE=∠OBA，根據(jù)等角的余角相等可得出∠DEA=∠CBE，再結(jié)合對(duì)頂角相等即可得出∠CEB=∠CBE，利用等角對(duì)等邊可證出CB=CE；
（2）在圖2中，連接OF，OB，在Rt△ODF中，由OF=2OD可得出∠DOF=60°，結(jié)合CD剛好平分，可得出∠AOB=2∠AOF=120°，再利用四邊形內(nèi)角和為360°可求出∠C=60°，結(jié)合CB=CE即可證出△BCE是等邊三角形；
（3）在圖3中，連接OB，則△OBC為等腰直角三角形，進(jìn)而可求出OC的長(zhǎng)度，結(jié)合（1）的結(jié)論可求出OE的長(zhǎng)度，再根據(jù)EF=DF-OE即可求出線段EF的長(zhǎng)．

證明：（1）在圖1中，連接OB．

∵CB為⊙O的切線，切點(diǎn)為B，

∴OB⊥BC，

∴∠OBC=90°．

∵OA=OB，

∴∠DAE=∠OBA．

∵∠DAE+∠DEA=90°，∠OBA+∠CBE=90°，

∴∠DEA=∠CBE．

∵∠CEB=∠DEA，

∴∠CEB=∠CBE，

∴CB=CE．

（2）在圖2中，連接OF，OB．

在Rt△ODF中，OF=OA=2OD，

∴∠OFD=30°，

∴∠DOF=60°．

∵CD剛好平分，

∴∠AOB=2∠AOF=120°，

∴∠C=360°﹣∠ODC﹣∠OBC﹣∠AOB=60°．

∵CB=CE，

∴△BCE是等邊三角形．

（3）解：在圖3中，連接OB．

∵∠OBC=90°，∠DCB=45°，

∴△OBC為等腰直角三角形，

∴BC=OB=2，OC=2．

又∵CB=CE，

∴OE=OC﹣CE=OC﹣BC=2﹣2，

∴EF=DF﹣OE=2﹣（2﹣2）=4﹣2．