Question

如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知直線PA是一次函數(shù)y=x+m（m＞0）的圖象，直線PB是一次函數(shù)y=-3x+n（n＞m）的圖象，點P是兩直線的交點，點A、B、C、Q分別是兩條直線與坐標(biāo)軸的交點．
（1）用m、n分別表示點A、B、P的坐標(biāo)及∠PAB的度數(shù)；
（2）若四邊形PQOB的面積是

11

2

，且CQ：AO=1：2，試求點P的坐標(biāo)，并求出直線PA與PB的函數(shù)表達式；
（3）在（2）的條件下，是否存在一點D，使以A、B、P、D為頂點的四邊形是平行四邊形？若存在，求出點D的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）已知直線解析式，令y=0，求出x的值，可求出點A，B的坐標(biāo)．聯(lián)立方程組求出點P的坐標(biāo)．推出AO=QO，可得出∠PAB=45°．
（2）先根據(jù)CQ：AO=1：2得到m、n的關(guān)系，然后求出S_△AOQ，S_△PAB并都用字母m表示，根據(jù)S_{四邊形PQOB}=S_△PAB-S_△AOQ積列式求解即可求出m的值，從而也可求出n的值，繼而可推出點P的坐標(biāo)以及直線PA與PB的函數(shù)表達式．
（3）本題要依靠輔助線的幫助．求證相關(guān)圖形為平行四邊形，繼而求出D1，D2，D3的坐標(biāo)．

解答：解：（1）在直線y=x+m中，令y=0，得x=-m．
∴點A（-m，0）．（1分）
在直線y=-3x+n中，令y=0，得x=

n

3

．
∴點B（

n

3

，0）．（1分）
由

y=x+m y=-3x+n

，
得

x= n-m 4 y= n+3m 4

，
∴點P（

n-m

4

，

n+3m

4

）．
在直線y=x+m中，令x=0，得y=m，
∴|-m|=|m|，即有AO=QO．
又∠AOQ=90°，
∴△AOQ是等腰直角三角形，
∴∠PAB=45度．（1分）

（2）∵CQ：AO=1：2，
∴（n-m）：m=1：2，
整理得3m=2n，
∴n=

3

2

m，
∴

n+3m

4

=

3 2 m+3m

4

=

9

8

m，
而S_{四邊形PQOB}=S_△PAB-S_△AOQ=

1

2

（

n

3

+m）×（

9

8

m）-

1

2

×m×m=

11

32

m²=

11

2

，
解得m=±4，
∵m＞0，
∴m=4，
∴n=

3

2

m=6，
∴P（

1

2

，

9

2

）．
∴PA的函數(shù)表達式為y=x+4，
PB的函數(shù)表達式為y=-3x+6．（1分）

（3）存在．
過點P作直線PM平行于x軸，過點B作AP的平行線交PM于點D₁，過點A作BP的平行線交PM于點D₂，過點A、B分別作BP、AP的平行線交于點D₃．
①∵PD₁∥AB且BD₁∥AP，
∴PABD₁是平行四邊形．此時PD₁=AB，易得D1(

13

2

，

9

2

)；
②∵PD₂∥AB且AD₂∥BP，
∴PBAD₂是平行四邊形．此時PD₂=AB，易得D2(-

11

2

，

9

2

)；
③∵BD₃∥AP且AD₃∥BP，此時BPAD₃是平行四邊形．
∵BD₃∥AP且B（2，O），
∴y_BD3=x-2．同理可得y_AD3=-3x-12

y=x-2 y=-3x-12

，
得

x=- 5 2 y=- 9 2

，
∴D3(-

5

2

，-

9

2

)．（3分）

點評：本題的綜合性強，主要考查的知識點為一次函數(shù)的應(yīng)用，平行四邊形的判定以及面積的靈活計算．難度較大．