Question

【題目】如圖1，拋物線與x軸相交于A、B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)B的右側(cè)），已知C（0，）．連接AC．

（1）求直線AC的解析式．

（2）點(diǎn)P是x軸下方的拋物線上一動點(diǎn)，過點(diǎn)P作PE⊥x軸交直線AC于點(diǎn)E，交x軸于點(diǎn)F，過點(diǎn)P作PG⊥AE于點(diǎn)G，線段PG交x軸于點(diǎn)H．設(shè)l=EP﹣FH，求l的最大值．

（3）如圖2，在（2）的條件下，點(diǎn)M是x軸上一動點(diǎn)，連接EM、PM，將△EPM沿直線EM折疊為△EP1M，連接AP，AP1．當(dāng)△APP1是等腰三角形時(shí)，試求出點(diǎn)M的坐標(biāo)．

Answer 1

【答案】（1）y=﹣（2）當(dāng)m=﹣2時(shí)，l最大=4（3）M1（3﹣8，0），M2（2，0），M3（﹣3﹣8，0），M4（﹣，0）

【解析】

試題分析：（1）先令y=0求拋物線與x軸交點(diǎn)坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法求直線AC的解析式；

（2）如圖1中，設(shè)點(diǎn)P（m，m2+m﹣3），則E（m，﹣m+），構(gòu)建關(guān)于x的二次函數(shù)，利用二次函數(shù)的性質(zhì)即可解決問題．

（3）如圖2中，分四種情形討論即可①當(dāng)P1P=P1A時(shí)，②AP=AP2時(shí)，③當(dāng)P3P=P3A時(shí)，④當(dāng)P4P=PA時(shí)，畫出圖形，求出點(diǎn)M坐標(biāo)即可．

試題解析：（1）當(dāng)y=0時(shí)，x2+x﹣3=0，解得x1=﹣3，x2=2，

∵點(diǎn)A在點(diǎn)B的右側(cè)，

∴A（2，0）、B（﹣3，0）；

設(shè)直線AC的解析式為y=kx+b，

把A（2，0）、C（0，）代入得： 解得，

∴直線AC的解析式為：y=﹣；

（2）如圖1中，在Rt△ACO中，tan∠OAC==

∵∠FPH+∠PHF=90°，∠OAC+∠AHG=90°，∠PHF=∠AHG，

∴∠HPF=∠OAC

∴tan∠FPH=tan∠OAC=

∵tan∠FPH=

∴FH=×FP×=FP

設(shè)點(diǎn)P（m，m2+m﹣3），則E（m，﹣m+），

∴EP=﹣m2﹣m+，F(xiàn)P=﹣m2﹣m+3，

于是l=EP﹣FH=EP﹣FP=﹣m2﹣m+3，

∵﹣＜0

∴l=﹣m2﹣m+3開口向下，對稱軸x==﹣2，

∵點(diǎn)P是x軸下方的拋物線上一動點(diǎn)，

∴﹣3＜m＜2

∴在﹣3＜m＜2時(shí)，當(dāng)m=﹣2時(shí)，l最大=4；

（3）如圖2中，m=﹣2時(shí)，E（﹣2，3），P（﹣2，﹣2），

∵A（2，0），

∴EP=EA=5，

①當(dāng)P1P=P1A時(shí)，AP中點(diǎn)K（0，﹣1），于是直線EK為y=﹣2x﹣1，

∴直線EK交x于I（﹣，0），EI=，

過點(diǎn)M1作M1J⊥EK于J，則EJ=EF=3，

∴IJ=﹣3，

∵△IEF∽△IM1J，

∴，

∴IM1=﹣3．

∴M1（3﹣8，0），

②AP=AP2時(shí)，△AEP≌△AEP2，

∴∠AEP=∠AEP2，

∴點(diǎn)M2與點(diǎn)A重合，

∴點(diǎn)M2（2，0）．

③當(dāng)P3P=P3A時(shí)，由△EFM3∽△M1FE，得到EF2=FM3FM1，

∴FM3=3+6，

∴點(diǎn)M3（﹣3﹣8，0），

④當(dāng)P4P=PA時(shí)，作M4Q⊥EP4，設(shè)M4Q=M4F=x，

在RT△P4QM4中，

∵P4Q2+QM42=FP42，

∴22+x2=（4﹣x）2，

∴x=，

∴0M4=+2=，

∴點(diǎn)M4（﹣，0）．

綜上所述點(diǎn)M1（3﹣8，0），M2（2，0），M3（﹣3﹣8，0），M4（﹣，0）．