Question

在平面直角坐標系xOy中，拋物線y=x²+bx+c經過A（2，0）、B（4，0）兩點，直線交y軸于點C，且過點D（8，m）．

（1）求拋物線的解析式；

（2）在x軸上找一點P，使CP+DP的值最小，求出點P的坐標；

（3）將拋物線y=x²+bx+c左右平移，記平移后點A的對應點為A′，點B的對應點為B′，當四邊形A′B′DC的周長最小時，求拋物線的解析式及此時四邊形A′B′DC周長的最小值．

 

Answer 1

【答案】

（1）由于拋物線經過A（2，0），B（4，0），則有：

y=（x﹣2）（x﹣4）=x²﹣6x+8；

（2）易知：C（0，2），D（8，6）；

作C關于x軸的對稱點C′（0，﹣2），連接C′D，點P即為直線C′D與x軸的交點；

設直線C′D的解析式為：y=kx﹣2，則有：

8k﹣2=6，k=1；

∴直線C′D的解析式為y=x﹣2；則P點坐標為：P（2，0）；

（3）當拋物線向右平移時，A′C+B′D＞AC+BD，顯然不存在符合條件的拋物線；

當拋物線向左平移時，設平移后A′（x，0），B′（x+2，0）；

若平移后四邊形A′B′DC的周長最小，那么A′C+B′D就應該最小；

將D向左平移2個單位，得：D′（6，6）；

若四邊形A′B′DC的周長最小，那么C′、A′、D′就應該在同一直線上，

設直線C′D′的解析式為：y=k′x﹣2，則有：6k′﹣2=6，k′=；

∴直線C′D′的解析式為y=x﹣2，

則A′（，0），B′（，0）；

∴此時拋物線的解析式為：y=（x﹣）（x﹣）=x²﹣5x+；

此時四邊形A′B′DC的周長為：A′B′+A′C+B′D+CD=AB+CD+C′D′=2+4+10=12+4．

【解析】（1）將A、B點的坐標代入拋物線的解析式中即可求出待定系數的值；

（2）根據已知直線的解析式可求出C點的坐標，作C關于x軸的對稱點C′，連接C′D，與x軸的交點即為所求的P點，可先求出直線C′D的解析式，進而求出P點的坐標；

（3）由于A′B′、CD都是定長，若四邊形A′B′DC的周長最小，那么A′C+B′D就最短，此時C′A′應該平行于B′D，很顯然拋物線應該向左平移，可將D向左平移2個單位（即AB的長）得到D′，那么C′D′與x軸的交點即為所求的A′，可先求出直線C′D′的解析式，然后再求得A′的坐標，也就能得到B′的坐標，用待定系數法即可求得平移后拋物線的解析式；此時四邊形A′B′DC的最小周長為：C′D′+AB+CD