Question

如圖，BD、CE為△ABC的兩條內(nèi)角平分線，K為ED的中點，KF⊥AB于F，KG⊥AC于G，KH⊥BC于H，求證：KF+KG=KH．

Answer 1

考點：角平分線的性質(zhì),三角形中位線定理,梯形中位線定理

專題：證明題

分析：過點D作DM⊥BC于M，作DN⊥AB于N，過點E作EP⊥BC于P，作EQ⊥AC于Q，根據(jù)三角形的中位線平行于第三邊并且等于第三邊的一半表示出KF、KG，再根據(jù)角平分線上的點到角的兩邊距離相等可得DM=DN，EP=EQ，然后根據(jù)梯形的中位線等于兩底和的一半證明即可．

解答：證明：如圖，過點D作DM⊥BC于M，作DN⊥AB于N，過點E作EP⊥BC于P，作EQ⊥AC于Q，
∵K為ED的中點，KF⊥AB，KG⊥AC，
∴KF、KG分別是△EDN和△EDQ的中位線，
∴KF=2DN，KG=2EQ，
∵BD、CE為△ABC的兩條內(nèi)角平分線，
∴DM=DN，EP=EQ，
∴KF=2DM，KG=2EP，
∴KF+KG=2（DM+EP）
∵K為ED的中點，
∴KH是梯形EPMD的中位線，
∴KH=

1

2

（DM+EP），
∴KF+KG=KH．

點評：本題考查了角平分線上的點到角的兩邊距離相等的性質(zhì)，三角形的中位線平行于第三邊并且等于第三邊的一半，梯形的中位線等于兩底和的一半，熟記定理并作出輔助線構(gòu)造成三角形和梯形是解題的關(guān)鍵．