Question

9．已知：如圖，在△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，在BA上任取一點(diǎn)P，PE⊥BC于E，PF⊥AC于F，M是AB的中點(diǎn)．證明：
（1）ME=MF；
（2）PF+BE=AC．

Answer 1

分析 （1）欲證明MF=ME，只要證明△AFM≌△CEM即可．
（2）欲證明PF+BE=AC，因?yàn)锳C=AF+CF，所以只要證明PF=AF，EB=FC，利用矩形的性質(zhì)．等腰三角形的性質(zhì)即可證明．

解答 （1）證明：連接MC．
∵PE⊥BC，PF⊥AC，
∴∠PEC=∠PFC=∠=90°，
∴四邊形PECF是矩形，
∴PF=EC
∵CA=CB，∠=90°，AM=MB，
∴CM=AM=MB，∠A=∠B=∠APF=∠ACM=∠MCB=45°，
∴AF=PF，
在△AFM和△CEM中，
$\left\{\begin{array}{l}{AM=CM}\\{∠A=∠MCB}\\{AF=CE}\end{array}\right.$，
∴△AFM≌△CEM，
∴FM=ME．
（2）∵四邊形PECF是矩形，
∴PE=CF，
∵∠B=45°，∠PEB=90°，
∴∠B=∠EPB=45°，
∴PE=EB，
∵PF=AF，
∴PF+BE=AF+FC=AC．

點(diǎn)評(píng) 本題考查全等三角形的判定和性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)、矩形的判定和性質(zhì)等知識(shí)，添加輔助線構(gòu)造全等三角形是解決問(wèn)題的關(guān)鍵，屬于中考常考題型．