Question

15．已知：如圖，E在△ABC的邊AC上，且∠AEB=∠ABC．
（1）求證：∠ABE=∠C；
（2）求∠BAE的平分線AF交BE于點(diǎn)F，F(xiàn)D∥BC交AC于點(diǎn)D，設(shè)AB=8，AC=10，求DC的長(zhǎng)．

Answer 1

分析 （1）在三角形ABE與三角形ABC中，由一對(duì)公共角相等，以及已知角相等，利用內(nèi)角和定理即可得證；
（2）由FD與BC平行，得到一對(duì)同位角相等，再由第一問(wèn)的結(jié)論等量代換得到一對(duì)角相等，根據(jù)AF為角平分線得到一對(duì)角相等，再由AF=AF，利用ASA得到三角形ABE與三角形ADF全等，利用全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等得到AB=AD，由AC-AD求出DC的長(zhǎng)即可．

解答 （1）證明：在△ABE中，∠ABE=180°-∠BAE-∠AEB，
在△ABC中，∠C=180°-∠BAC-∠ABC，
∵∠AEB=∠ABC，∠BAE=∠BAC，
∴∠ABE=∠C；
（2）解：∵FD∥BC，
∴∠ADF=∠C，
又∠ABE=∠C，
∴∠ABE=∠ADF，
∵AF平分∠BAE，
∴∠BAF=∠DAF，
在△ABE和△ADF中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠ABE=∠ADF}\\{AF=AF}\\{∠BAF=∠DAF}\end{array}\right.$，
∴△ABE≌△ADF（ASA），
∴AB=AD，
∵AB=8，AC=10，
∴DC=AC-AD=10-8=2．

點(diǎn)評(píng) 此題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握全等三角形的判定與性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵．