Question

已知，⊙O是Rt△ABC的內(nèi)切圓，切點分別為D、E、F．若∠ACB=90°．設(shè)⊙O的半徑為r，BC=a，AC=b，AB=c．給出如下結(jié)論：
①r=（

a十b一c

2

）；
②r=（

ab

a十b十c

）；
③AC-AE=BC-BE；
④S_△ABC=AE•BE
其中正確結(jié)論的序號是

 

．（把所有正確結(jié)論的序號都填在橫線上）．

Answer 1

考點：三角形的內(nèi)切圓與內(nèi)心

專題：

分析：如圖，作輔助線，根據(jù)切線長定理及三角形的面積公式，可以逐步判斷①②③④均成立．

解答：解：如圖，連接OA、OB、OC；連接OD、OE、OF；
∵⊙O內(nèi)切于直角△ABC，
∴AE=AF、BD=BE、CD=CF；OD⊥BC，OF⊥AC，OE⊥AB；
∴AC-AE=BC-BE，
即③成立；
∵∠ACB=90°，
∴四邊形ODCF為正方形，
∴CD=CF=r，
∴2r=a+b-c，
∴r=

a+b-c

2

，
故①成立；
∵S△ABC=

1

2

BC•AC，S_△ABC=S_△AOB+S_△AOC+S_△BOC，
∴

1

2

ab=

1

2

cr+

1

2

ar+

1

2

br，
∴r=

ab

a+b+c

，故②成立；
設(shè)AE=λ，BE=μ；
∵

1

2

ab=

1

2

cr+

1

2

ar+

1

2

br，
∴ab=cr+br+ar，
即（λ+r）（μ+r）=（λ+μ）r+（λ+r）r+（μ+r）r，
整理得：λμ=λr+μr+r²；
易知：S_AFOE=2S_△AOE=λr，
S_BDOE=2S_△BOE=μr，SODCF=r2，
∴λμ=S_△ABC，
故④成立．
故答案為①②③④．

點評：該命題主要考查了直角三角形的內(nèi)切圓的性質(zhì)及其應(yīng)用問題；解題的關(guān)鍵是靈活運(yùn)用有關(guān)定理來分析、判斷或解答．