【題目】如圖1,拋物線C1:y=x2+ax+b與直線l交于點(diǎn)A(8,6),B(﹣4,0),直線l交y軸于C,點(diǎn)P是直線l下方的拋物線C1上一動點(diǎn)(不與A、B點(diǎn)重點(diǎn)),PE⊥AB于點(diǎn)E,設(shè)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為m.
(1)求拋物線C1和直線l的解析式;
(2)若AB=3PE,求m的值;
(3)拋物線C1向右平移t個(gè)單位,得到拋物線C2,點(diǎn)P為拋物線C2上一點(diǎn),且在x軸下方,PE⊥AB于點(diǎn)E,過點(diǎn)P作x軸的垂線交x軸于點(diǎn)M,交直線l于點(diǎn)Q.
①如圖2,當(dāng)t=4時(shí),求△PQE周長的最大值;
②當(dāng)點(diǎn)P在拋物線C2上運(yùn)動時(shí),線段PM,QM的值在不斷變化,若的最大值為1,則此時(shí)t= (直接寫出結(jié)果).
【答案】(1), y=x+2;(2)m=2;(3)①8+;②
【解析】
(1)將點(diǎn)A、B的坐標(biāo)代入y=x2+ax+b,即可求出拋物線的解析式;將A、B坐標(biāo)代入y=mx+n,即可求出直線l的解析式;
(2)如圖1,過A作AH⊥x軸,PF⊥x軸,EF∥x軸交PF于F,則△ABH∽△EPF,由AB=3PE可求出PF=4,EF=2,設(shè)可P(m,m2﹣m﹣),則E(m﹣2,m2﹣m+),將E代入直線l的解析式即可求出m的值;
(3)①當(dāng)t=4時(shí),平移后的解析式C2為:y=x2﹣x,設(shè)P(m,m2﹣m),則Q(m,m+2),求出PQ的最大值,進(jìn)一步即可求出△PQE的周長最大值;②先寫出平移后的解析式,再用含m、t的代數(shù)式表示出PM,MQ的長,由≤1可列出不等式,化簡后可由函數(shù)的圖象及性質(zhì)求出t的值.
解:(1)將點(diǎn)A(8,6)、B(﹣4,0)代入,
得:,
解得:,
∴拋物線解析式為y=x2﹣x﹣;
設(shè)直線l的解析式為y=mx+n,
將A、B坐標(biāo)代入,得:,
解得,
∴直線l的解析式為y=x+2;
(2)如圖1,過A作AH⊥x軸,PF⊥x軸,EF∥x軸交PF于F,
∵∠CBO+∠BDE=90°,∠P+∠PDH=90°,
∴∠CBD=∠P,
又∵∠F=∠AHB=90°,
∴△ABH∽△EPF,
∵AB=3PE,
∴BH=3PF,AH=3EF,
∵BH=12,AH=6,
∴PF=4,EF=2,
設(shè)P(m,m2﹣m﹣),則E(m﹣2,m2﹣m+),
將E代入直線l化簡得:m2﹣4m﹣2=0,
解得m=2;
(3)過A作AH⊥x軸于H,
①∵y=x2﹣x﹣=,
∴當(dāng)t=4時(shí),平移后的解析式C2為:y==x2﹣x,
設(shè)P(m,m2﹣m),則Q(m,m+2),
∴PQ=-m2+2m+2=﹣(m﹣6)2+8,
∴當(dāng)m=6時(shí),PQ取最大值8,
∵∠ABH=∠EPQ,∠AHB=∠PEQ,
∴△PQE∽△ABH,
∴EQ:PE:PQ=1:2:,
∴△PQE的周長最大值=PQ+PE+EQ=8+2×+=8+;
②∵y==,
∴平移后的解析式為:y=x2﹣+ ,
∴PM=﹣m2+﹣,MQ=m+2,≤1,
∴-m2+﹣≤0,
∴當(dāng)m=﹣=t﹣1時(shí),-m2+﹣有最大值0,
將m=t﹣1代入-m2+﹣=0,
解得t=,
故答案為:.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖像如圖所示,對稱軸為直線x=1.有位學(xué)生寫出了以下五個(gè)結(jié)論:
(1)ac>0;
(2)方程ax2+bx+c=0的兩根是x1=-1,x2=3;
(3)2a-b=0;
(4)當(dāng)x>1時(shí),y隨x的增大而減;
(5)3a+2b+c>0
則以上結(jié)論中不正確的有( )
A. 1個(gè) B. 2個(gè) C. 3個(gè) D. 4個(gè)
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】(題文)如圖,已知拋物線經(jīng)過,兩點(diǎn),頂點(diǎn)為.
(1)求拋物線的解析式;
(2)將繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)后,點(diǎn)落在點(diǎn)的位置,將拋物線沿軸平移后經(jīng)過點(diǎn),求平移后所得圖象的函數(shù)關(guān)系式;
(3)設(shè)(2)中平移后,所得拋物線與軸的交點(diǎn)為,頂點(diǎn)為,若點(diǎn)在平移后的拋物線上,且滿足的面積是面積的2倍,求點(diǎn)的坐標(biāo).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某商店計(jì)劃購進(jìn)甲、乙兩種商品,乙種商品的進(jìn)價(jià)是甲種商品進(jìn)價(jià)的九折,用3600元購買乙種商品要比購買甲種商品多買10件.
(1)求甲、乙兩種商品的進(jìn)價(jià)各是多少元?
(2)該商店計(jì)劃購進(jìn)甲、乙兩種商品共80件,且乙種商品的數(shù)量不低于甲種商品數(shù)量的3倍.甲種商品的售價(jià)定為每件80元,乙種商品的售價(jià)定為每件70元,若甲、乙兩種商品都能賣完,求該商店能獲得的最大利潤.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】為提升學(xué)生的藝術(shù)素養(yǎng),學(xué)習(xí)計(jì)劃開設(shè)四門藝術(shù)選修課:A書法;B繪畫;C樂器;D舞蹈,為了解學(xué)生對四門功課的喜歡情況,在全校范圍內(nèi)隨機(jī)抽取若干名學(xué)生進(jìn)行問卷調(diào)查(每個(gè)被調(diào)查的學(xué)生必須選擇而且只能選擇其中一門),將數(shù)據(jù)進(jìn)行整理,并繪制成如下兩幅不完整的統(tǒng)計(jì)圖,請結(jié)合圖中所給信息解答下列問題:
(1)本次調(diào)查的學(xué)生共有 人,扇形統(tǒng)計(jì)圖中∠α的度數(shù)是 ;
(2)請把條形統(tǒng)計(jì)圖補(bǔ)充完整;
(3)如果該校共有2500名學(xué)生,請你估計(jì)該校D類學(xué)生約有多少人?
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在平面直角坐標(biāo)系xOy中,B(3,﹣3),C(5,0),以OC,CB為邊作平行四邊形OABC,函數(shù)y(x<0)的圖象經(jīng)過點(diǎn)A.
(1)求k的值;
(2)若過點(diǎn)A的直線l平行于直線OB,且交函數(shù)y(x<0)的圖象于點(diǎn)D.
①求直線l的表達(dá)式;
②定義:橫、縱坐標(biāo)都是整數(shù)的點(diǎn)叫做整點(diǎn).記函數(shù)y(x<0)的圖象在點(diǎn)A,D之間的部分與線段AD圍成的區(qū)域(含邊界)為W.結(jié)合函數(shù)圖象,直接寫出區(qū)域W內(nèi)(含邊界)的整點(diǎn)個(gè)數(shù).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在平行四邊形 ABCD 中,AE 平分∠BAD 交邊 BC 于 E,DF 平分∠ADC 交邊 BC 于 F,若 AD=11,EF=5,則 AB= ___.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,方格紙中的每個(gè)小方格都是邊長為1個(gè)單位的正方形,在建立平面直角坐標(biāo)系后,△ABC的頂點(diǎn)均在格點(diǎn)上,三個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別為A(2,2)、B(1,0)、C(3,1)
(1)將△ABC關(guān)于x軸作軸對稱變換得△A1B1C1,則點(diǎn)C1的坐標(biāo)為 .
(2)將△ABC繞原點(diǎn)O按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)90°得△A2B2C2,則點(diǎn)C2的坐標(biāo)為 .
(3)在(1)(2)的基礎(chǔ)上,圖中的△A1B1C1、△A2B2C2是中心對稱圖形,對稱中心的坐標(biāo)為 .
(4)若以點(diǎn)D、A、C、B為頂點(diǎn)的四邊形為菱形,直接寫出點(diǎn)D的坐標(biāo)為 .
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某電器商場銷售A,B兩種型號計(jì)算器,兩種計(jì)算器的進(jìn)貨價(jià)格分別為每臺30元,40元. 商場銷售5臺A型號和1臺B型號計(jì)算器,可獲利潤76元;銷售6臺A型號和3臺B型號計(jì)算器,可獲利120元.
(1)求商場銷售A,B兩種型號計(jì)算器的銷售價(jià)格分別是多少元?(利潤=銷售價(jià)格﹣進(jìn)貨價(jià)格)
(2)商場準(zhǔn)備用不多于2500元的資金購進(jìn)A,B兩種型號計(jì)算器共70臺,問最少需要購進(jìn)A型號的計(jì)算器多少臺?
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