【題目】已知,點(diǎn)O到△ABC的兩邊AB、AC所在直線的距離相等,且OB=OC.
(1)如圖1,若點(diǎn)O在BC上,求證:△ABC是等腰三角形.
(2)如圖2,若點(diǎn)O在△ABC內(nèi)部,求證:AB=AC.
(3)若點(diǎn)O點(diǎn)在△ABC的外部,△ABC是等腰三角形還成立嗎?請(qǐng)畫圖表示.
【答案】(1)證明見解析;(2)證明見解析;(3)若O點(diǎn)在△ABC的外部,AB=AC不一定成立;圖形見解析.
【解析】
(1)首先過(guò)點(diǎn)O作OD⊥AB于D,作OE⊥AC于E,易證得Rt△BOD≌Rt△COE,即可得∠B=∠C,根據(jù)等角對(duì)等邊的性質(zhì),即可得證;
(2)首先過(guò)點(diǎn)O作OD⊥AB于D,作OE⊥AC于E,易證得Rt△BOD≌Rt△COE,然后又由OB=OC,根據(jù)等邊對(duì)等角的性質(zhì),易證得∠ABC=∠ACB,根據(jù)等角對(duì)等邊的性質(zhì),AB=AC;
(3)首先過(guò)點(diǎn)O作OD⊥AB于D,作OE⊥AC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E,易證得Rt△BOD≌Rt△COE,然后又由OB=OC,根據(jù)等邊對(duì)等角的性質(zhì),易證得∠ABC=∠ACB,根據(jù)等角對(duì)等邊的性質(zhì),AB=AC.
(1)證明:如圖1,
過(guò)O作OE⊥AB于E,OF⊥AC于F,
則∠OEB=∠OFC=90°,
∵點(diǎn)O到△ABC的兩邊AB、AC所在直線的距離相等,
∴OE=OF,
在Rt△OEB和Rt△OFC中,
,
∴Rt△OEB≌Rt△OFC(HL),
∴∠ABC=∠ACB,
∴AB=AC;
(2)證明:如圖2,過(guò)O作OE⊥AB于E,OF⊥AC于F,
則∠OEB=∠OFC=90°,
∵點(diǎn)O到△ABC的兩邊AB、AC所在直線的距離相等,
∴OE=OF,
在Rt△OEB和Rt△OFC中,
,
∴Rt△OEB≌Rt△OFC(HL),
∴∠ABO=∠ACO,
∵∠OBC=∠OCB,
∴∠ABC=∠ACB,
∴AB=AC;
(3)解:若O點(diǎn)在△ABC的外部,AB=AC不一定成立,
理由是:①當(dāng)∠A的平分線和BC的垂直平分線重合時(shí),如圖3,
過(guò)O作OE⊥AB交AB的延長(zhǎng)線于E,OF⊥AC交AC的延長(zhǎng)線于F,
則∠OEB=∠OFC=90°,
∵點(diǎn)O到△ABC的兩邊AB、AC所在直線的距離相等,
∴OE=OF,
在Rt△OEB和Rt△OFC中
∴Rt△OEB≌Rt△OFC(HL),
∴∠EBO=∠FCO,
∵OB=OC,
∴∠OBC=∠OCB,
∵∠ABC=180°﹣(∠OBC+∠EBO),∠ACB=180°﹣(∠OCB+∠FCO),
∴∠ABC=∠ACB,
∴AB=AC;
②當(dāng)∠A的平分線和BC的垂直平分線不重合時(shí),如圖④,
此時(shí)∠ABC和∠ACB不相等,
∴AB≠AC,
∴△ABC是等腰三角形不一定成立.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,△ABC在直角坐標(biāo)系中,
(1)請(qǐng)寫出△ABC各頂點(diǎn)的坐標(biāo);
(2)若把△ABC向上平移2個(gè)單位,再向左平移1個(gè)單位得到△A′B′C′,寫出A′、B′、C′的坐標(biāo),并在圖中畫出平移后圖形;
(3)求出△ABC的面積.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,點(diǎn)分別為長(zhǎng)方形的邊和邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),將四邊形沿直線折疊,點(diǎn)恰好落在處,若,則此時(shí)的度數(shù)為____.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】在△ABC中,∠BAC=120°,AD平分∠BAC,且AD=AB,若∠EDF=60°,其兩邊分別交邊AB,AC于點(diǎn)E,F(xiàn).
(1)求證:△ABD是等邊三角形;
(2)求證:BE=AF.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知在平面直角坐標(biāo)系中,為坐標(biāo)原點(diǎn),點(diǎn)的坐標(biāo)為,點(diǎn)的坐標(biāo)為,點(diǎn)的坐標(biāo)為,其中滿足方程組.
(1)若點(diǎn)到軸的距離為6,則的值為_________;
(2)連接,線段沿軸方向向上平移到線段,則點(diǎn)到直線的距離為_______,線段掃過(guò)的面積為15,則點(diǎn)平移后對(duì)應(yīng)點(diǎn)的縱坐標(biāo)為_______;
(3)連接,,,若的面積小于等于12,求的取值范圍.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】將一副直角三角尺(即直角三角形AOB和直角三角形COD)的直角頂點(diǎn)O的重合,其中,在△AOB中,∠A=60°,∠B=30°,∠AOB=90°;在△COD中,∠C=∠D=45°,∠COD=90°.
(1)如圖1,當(dāng)OA在∠COD的外部,且∠AOC=45°時(shí),①試說(shuō)明CO平分∠AOB; ②試說(shuō)明OA∥CD(要求書寫過(guò)程);
(2)如圖2,繞點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)直角三角尺AOB,使OA在∠COD的內(nèi)部,且CD∥OB,試探索∠AOC=45°是否成立,并說(shuō)明理由.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,長(zhǎng)方形OABC的邊OC、OA分別在x軸、y軸上,B點(diǎn)在第一象限,點(diǎn)A的坐標(biāo)是(0,4),OC=8.
(1)直接寫出點(diǎn)B、C的坐標(biāo);
(2)點(diǎn)P從原點(diǎn)O出發(fā),在邊OC上以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度勻速向C點(diǎn)移動(dòng),同時(shí)點(diǎn)Q從點(diǎn)B出發(fā),在邊BA上以每秒2個(gè)單位長(zhǎng)度的速度勻速向A點(diǎn)移動(dòng),當(dāng)一個(gè)點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時(shí),另一個(gè)點(diǎn)隨之停止移動(dòng),設(shè)移動(dòng)的時(shí)間為t秒鐘,探究下列問(wèn)題:
① 當(dāng)t值為多少時(shí),直線PQ∥y軸?
② 在整個(gè)運(yùn)動(dòng)過(guò)程中,能否使得四邊形BCPQ的面積是長(zhǎng)方形OABC的面積的?若能,請(qǐng)直接寫出P、Q兩點(diǎn)的坐標(biāo);若不能,說(shuō)明理由.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】對(duì)于二次函數(shù)y=x2﹣2mx﹣3,下列結(jié)論錯(cuò)誤的是( )
A.它的圖象與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)
B.方程x2﹣2mx=3的兩根之積為﹣3
C.它的圖象的對(duì)稱軸在y軸的右側(cè)
D.x<m時(shí),y隨x的增大而減小
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,A(﹣1,5),B(﹣1,0),C(﹣4,3).
(1)求出△ABC的面積;
(2)在圖中作出△ABC關(guān)于y軸的對(duì)稱圖形△A1B1C1;
(3)寫出點(diǎn)A1,B1,C1的坐標(biāo).
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