【題目】如圖,矩形ABCD的對角線AC,BD相交于點(diǎn)O,過點(diǎn)O作OE⊥AC交AB于E,若BC=4,△AOE的面積為5,則sin∠BOE的值為( )
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】由題意可知,OE為對角線AC的中垂線,則CE=AE=5,S△AEC=2S△AOE=10,由S△AEC求出線段AE的長度,進(jìn)而在Rt△BCE中,由勾股定理求出線段BE的長度;然后證明∠BOE=∠BCE,從而可求得結(jié)果.
解:如圖所示,連接EC.
由題意可得,OE為對角線AC的垂直平分線,
∴CE=AE,S△AOE=S△COE=5,
∴S△AEC=2S△AOE=10.
∴AEBC=10,又BC=4,
∴AE=5,
∴EC=5.
在Rt△BCE中,由勾股定理得:BE==3.
∵∠EBC+∠EOC=90°+90°=180°,
∴B、C、O、E四點(diǎn)共圓,
∴∠BOE=∠BCE.
(另解:∵∠AEO+∠EAO=90°,∠AEO=∠BOE+∠ABO,
∴∠BOE+∠ABO+∠EAO=90°,又∠ABO=90°-∠OBC=90°-(∠BCE+∠ECO)
∴∠BOE+(90°-(∠BCE+∠ECO))+∠EAO=90°,
化簡得:∠BOE-∠BCE-∠ECO+∠EAO=0
∵OE為AC中垂線,
∴∠EAO=∠ECO.
代入上式得:∠BOE=∠BCE.)
∴sin∠BOE=sin∠BCE=.
故答案為: .
“點(diǎn)睛”本題是幾何綜合題,考查了矩形性質(zhì)、線段垂直平分線的性質(zhì)、勾股定理、圓周角、三角函數(shù)的定義等知識點(diǎn),有一定的難度.解題要點(diǎn)有兩個(gè):(1)求出線段AE的長度;(2)證明∠BOE=∠BCE.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】將多項(xiàng)式a(x-y)+2by-2bx分解因式,正確的結(jié)果是( )
A. (x-y)(-a+2b) B. (x-y)(a+2b)
C. (x-y)(a-2b) D. -(x-y)(a+2b)
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,直線AB、CD、EF相交于點(diǎn)O.
(1)寫出∠COE的鄰補(bǔ)角;
(2)分別寫出∠COE和∠BOE的對頂角;
(3)如果∠BOD=60°,AB⊥EF,求∠DOF和∠FOC的度數(shù).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如果直角三角形的一個(gè)銳角是另一個(gè)銳角的4倍,那么這個(gè)直角三角形中一個(gè)銳角的度數(shù)是( 。
A.9°
B.18°
C.27°
D.36°
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】假期顧老師帶學(xué)生乘車外出旅游,在乘車單價(jià)相同的情況下,甲、乙兩位車主給出了不同的優(yōu)惠方案.甲車主說“每人八折”,乙車主說“學(xué)生九折,老師免費(fèi)”.李老師計(jì)算了一下,無論坐誰的車,費(fèi)用都一樣,則李老師帶的學(xué)生為 ( )
A. 10名 B. 9名 C. 8名 D. 17名
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】每年的農(nóng)歷三月初一為通州風(fēng)箏節(jié).這天,小劉同學(xué)正在江海明珠廣場上放風(fēng)箏,如圖風(fēng)箏從A處起飛,幾分鐘后便飛達(dá)C處,此時(shí),在AQ延長線上B處的小宋同學(xué),發(fā)現(xiàn)自己的位置與風(fēng)箏和廣場邊旗桿PQ的頂點(diǎn)P在同一直線上.
(1)已知旗桿高為10米,若在B處測得旗桿頂點(diǎn)P的仰角為30°,A處測得點(diǎn)P的仰角為45°,試求A、B之間的距離;
(2)此時(shí),在A處背向旗桿又測得風(fēng)箏的仰角為75°,若繩子在空中視為一條線段,求繩子AC為多少米?(結(jié)果可保留根號)
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,AB是⊙O的直徑,OD⊥弦BC于點(diǎn)F,交⊙O于點(diǎn)E,連結(jié)CE、AE、CD,若∠AEC=∠ODC.
(1)求證:直線CD為⊙O的切線;
(2)若AB=5,BC=4,求線段CD的長.
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