Question

（本題10分）如圖，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，點D在邊AB上，連接CD，將線段CD繞點C順時針旋轉90°至CE位置，連接AE．

（1）求證：AB⊥AE；

（2）若BC2=ADAB，求證：四邊形ADCE為正方形．

Answer 1

（1）證明見試題解析；（2）證明見試題解析．

【解析】

試題分析：（1）根據旋轉的性質得到∠DCE=90°，CD=CE，利用等角的余角相等得∠BCD=∠ACE，然后根據“SAS”可判斷△BCD≌△ACE，則∠B=∠CAE=45°，所以∠DAE=90°，即可得到結論；

（2）由于BC=AC，則AC2=ADAB，根據相似三角形的判定方法得到△DAC∽△CAB，則∠CDA=∠BCA=90°，可判斷四邊形ADCE為矩形，利用CD=CE可判斷四邊形ADCE為正方形．

解答：證明：（1）∵∠ACB=90°，AC=BC，∴∠B=∠BAC=45°，

∵線段CD繞點C順時針旋轉90°至CE位置，∴∠DCE=90°，CD=CE，

∵∠ACB=90°，∴∠ACB﹣∠ACD=∠DCE﹣∠ACD，即∠BCD=∠ACE，

在△BCD和△ACE中，∵BC=AC，∠BCD=∠ACE，CD=CE，∴△BCD≌△ACE，

∴∠B=∠CAE=45°，∴∠BAE=45°+45°=90°，∴AB⊥AE；

（2）∵BC2=ADAB，而BC=AC，∴AC2=ADAB，

∵∠DAC=∠CAB，∴△DAC∽△CAB，∴∠CDA=∠BCA=90°，

而∠DAE=90°，∠DCE=90°，∴四邊形ADCE為矩形，

∵CD=CE，∴四邊形ADCE為正方形．

考點：1．旋轉的性質；2．全等三角形的判定與性質；3．相似三角形的判定與性質．

考點分析： 考點1：圖形的平移與旋轉 定義：
將一個圖形沿某個方向移動一定的距離，這樣的圖形運動稱為平移。平移是圖形變換的一種基本形式。平移不改變圖形的形狀和大小，平移可以不是水平的。 平移基本性質：
經過平移，對應線段平行（或共線）且相等，對應角相等，對應點所連接的線段平行且相等；
平移變換不改變圖形的形狀、大小和方向(平移前后的兩個圖形是全等形)。
（1）圖形平移前后的形狀和大小沒有變化，只是位置發(fā)生變化;
（2）圖形平移后，對應點連成的線段平行（或在同一直線上）且相等
（3）多次連續(xù)平移相當于一次平移。
（4）偶數次對稱后的圖形等于平移后的圖形。
（5）平移是由方向和距離決定的。
這種將圖形上的所有點都按照某個方向作相同距離的位置移動，叫做圖形的平移運動，簡稱為平移
平移的條件：確定一個平移運動的條件是平移的方向和距離。 平移的三個要點
1 原來的圖形的形狀和大小和平移后的圖形是全等的。
2 平移的方向。（東南西北，上下左右,東偏南n度，東偏北n度，西偏南n度，西偏北n度）
3 平移的距離。（長度，如7厘米，8毫米等） 平移作用：
1.通過簡單的平移可以構造精美的圖形。也就是花邊，通常用于裝飾，過程就是復制-平移-粘貼。
2.平移長于平行線有關,平移可以將一個角,一條線段,一個圖形平移到另一個位置,是分散的條件集中到一個圖形上,使問題得到解決。 平移作圖的步驟：
（1）找出能表示圖形的關鍵點；
（2）確定平移的方向和距離；
（3）按平移的方向和距離確定關鍵點平移后的對應點；
（4）按原圖的順序，連結各對應點。 考點2：圖形的相似 形狀相同，大小不同的兩個圖形相似 試題屬性

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