Question

已知：如圖，△ABC中，AB＝3，∠BAC＝120°，AC＝1，D為AB延長線上一點，BD＝1，點P在∠BAC的平分線上，且滿足△PAD是等邊三角形．

 

 

1.求證：BC＝BP；

2.求點C到BP的距離．

 

Answer 1

 

1.證明：如圖，連結(jié)PC．

 

 

∵AC＝1，BD＝1，  ∴AC＝BD．

∵∠BAC＝120°，AP平分∠BAC，

∵△PAD是等邊三角形，

∴PA＝PD，∠D＝60°．

∴∠1＝∠D．

∴△PAC≌△PDB．

∴PC＝PB，∠2＝∠3．

∴∠2＋∠4＝∠3＋∠4，∠BPC＝∠DPA＝60°．

∴△PBC是等邊三角形，BC＝BP．

證法二：作BM∥PA交PD于M，證明△PBM≌△BCA．

2.解法一：如圖，作CE⊥PB于E，PF⊥AB于F．

 

 

∵AB＝3，BD＝1，  ∴AD＝4．

∵△PAD是等邊三角形，PF⊥AB，

∴BF＝DF－BD＝1，

   

即點C到BP的距離等于

解法二：作BN⊥DP于N，

以下同解法一．

 解析:略