Question

已知：如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A坐標(biāo)為（-2，0），點(diǎn)B坐標(biāo)為（0，2），點(diǎn)E為線段AB上的動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)E不與點(diǎn)A，B重合），以E為頂點(diǎn)作∠OET=45°，射線ET交線段OB于點(diǎn)F，C為y軸正半軸上一點(diǎn)，且OC=AB，拋物線y=-

2

x²+mx+n的圖象經(jīng)過A，C兩點(diǎn)．
（1）求此拋物線的函數(shù)表達(dá)式；
（2）求證：∠BEF=∠AOE；
（3）當(dāng)△EOF為等腰三角形時(shí)，求此時(shí)點(diǎn)E的坐標(biāo)；

Answer 1

考點(diǎn)：二次函數(shù)綜合題

專題：

分析：（1）根據(jù)A，B點(diǎn)坐標(biāo)得出CO的長，即可得出C點(diǎn)坐標(biāo)，進(jìn)而利用待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式解析式；
（2）根據(jù)已知得出∠BEO=∠BAO+∠AOE=45°+∠AOE，∠BEO=∠OEF+∠BEF=45°+∠BEF，進(jìn)而得出∠BEF=∠AOE；
（3）①當(dāng)OE=OF時(shí)，∠OFE=∠OEF=45°，②如備用圖①，當(dāng)FE=FO時(shí)，③如備用圖②，當(dāng)EO=EF時(shí)，分別求出即可．

解答：解：（1）如圖，∵A （-2，0）B （0，2），
∴OA=OB=2，∴AB=2

2

∵OC=AB，∴OC=2

2

，即C （0，2

2

）
又∵拋物線y=-

2

x²+mx+n的圖象經(jīng)過A、C兩點(diǎn)，
則可得：

-4 2 -2m+n=0 n=2 2

，
解得：

m=- 2 n=2 2

，
∴拋物線的表達(dá)式為y=-

2

x²-

2

x+2

2

；

（2）證明：∵OA=OB∠AOB=90°，
∴∠BAO=∠ABO=45°，
又∵∠BEO=∠BAO+∠AOE=45°+∠AOE，
∠BEO=∠OEF+∠BEF=45°+∠BEF，
∴∠BEF=∠AOE；

（3）當(dāng)△EOF為等腰三角形時(shí)，分三種情況討論
①當(dāng)OE=OF時(shí)，∠OFE=∠OEF=45°
在△EOF中，∠EOF=180°-∠OEF-∠OFE=180°-45°-45°=90°
又∵∠AOB=90°
則此時(shí)點(diǎn)E與點(diǎn)A重合，不符合題意，此種情況不成立．
②如備用圖①，當(dāng)FE=FO時(shí)，
∠EOF=∠OEF=45°
在△EOF中，∠EFO=180°-∠OEF-∠EOF=180°-45°-45°=90°
∴∠AOF+∠EFO=90°+90°=180°，∴EF∥AO，∴∠BEF=∠BAO=45°
又∵由 （2）可知，∠ABO=45°，∴∠BEF=∠ABO，
∴BF=EF，
∴EF=BF=OF=

1

2

OB=

1

2

×2=1，
∴E（-1，1）
③如備用圖②，當(dāng)EO=EF時(shí)，過點(diǎn)E作EH⊥y軸于點(diǎn)H，
 在△AOE和△BEF中，

∠EAO=∠FBE E0=EF ∠AOE=BEF

，
∴△AOE≌△BEF（ASA），
∴BE=AO=2，
∵EH⊥OB，∴∠EHB=90°，
∴∠AOB=∠EHB，
∴EH∥AO，
∴∠BEH=∠BAO=45°，
在Rt△BEH中，∵∠BEH=∠ABO=45°，
∴EH=BH=BEcos45°=2×

2

2

=

2

，
∴OH=OB-BH=2-

2

，
∴E（-

2

，2-

2

），
綜上所述，當(dāng)△EOF為等腰三角形時(shí)，所求E點(diǎn)坐標(biāo)為：E（-1，1）或（-

2

，2-

2

）．

點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了二次函數(shù)綜合以及全等三角形的判定與性質(zhì)以及銳角三角函數(shù)關(guān)系等知識(shí)，利用分類討論得出E點(diǎn)坐標(biāo)是解題關(guān)鍵．