Question

11．如圖，BD是⊙O的直徑，OA⊥OB，點M是劣弧AB上一動點（不與點A、B重合），過點M作⊙O的切線MP交OA的延長線于點P，MD與OA交于點N．
（1）求證：PM=PN；
（2）當(dāng)點M運動到何處時，△PMN是等邊三角形？請說明理由．

Answer 1

分析 （1）利用切線的性質(zhì)得到OM⊥PM和BD⊥OA得出互余的關(guān)系，即可；
（2）利用互余得到∠BDM=30°即可．

解答 （1）證明：∵BD⊥OA，
∴∠AOD=90°，
∴∠ODM+∠OND=90°，
∵OD=OM，
∴∠ODM=∠OMD，
∴∠OMD+∠OND=90°
∵PM切⊙O于M，
∴∠OMD+∠PMN=90°，
∴∠OND=∠PMN，
∵∠OND=∠MNP，
∴∠PMN=∠MNP，
∴PM=PN；
（2）當(dāng)點M運動到滿足，$\widehat{BM}$=2$\widehat{AM}$（∠BOM=60°）時，△PMN是等邊三角形
由（1）有，∠PMN=∠MNP，
∵△PMN是等邊三角形，
∴∠MNP=60°，
∴∠OND=60°，
∴∠ODM=30°，
∴$\widehat{BM}$=2$\widehat{AM}$（∠BOM=60°）．

點評 此題是圓的切線，主要考查了圓的切線的性質(zhì)，同角的與角相等，角的等量代換是解本題的關(guān)鍵．