Question

（2013•朝陽(yáng)）如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，Rt△AOB的直角邊OA在x軸正半軸上，OB在y軸負(fù)半軸上，且OA=

3

，OB=1，以點(diǎn)B為頂點(diǎn)的拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn)A．
（1）求出該拋物線的解析式．
（2）第二象限內(nèi)的點(diǎn)M，是經(jīng)過(guò)原點(diǎn)且平分Rt△AOB面積的直線上一點(diǎn)．若OM=2，請(qǐng)判斷點(diǎn)M是否在（1）中的拋物線上？并說(shuō)明理由．
（3）點(diǎn)P是經(jīng)過(guò)點(diǎn)B且與坐標(biāo)軸不平行的直線l上一點(diǎn)．請(qǐng)你探究：當(dāng)直線l繞點(diǎn)B任意旋轉(zhuǎn)（不與坐標(biāo)軸平行或重合）時(shí)，是否存在這樣的直線l，在直線l上能找到點(diǎn)P，使△PAB與Rt△AOB相似（相似比不為1）？若存在，求出直線l的解析式；若不存在，說(shuō)明理由．

Answer 1

分析：（1）依題意得到A與B的坐標(biāo)，根據(jù)B為拋物線的頂點(diǎn)，設(shè)出拋物線的解析式，將A坐標(biāo)代入求出a的值，即可確定出拋物線解析式；
（2）點(diǎn)M不在拋物線上，理由為：設(shè)拋物線與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)為C，直線OM交AB于點(diǎn)D，由題意得到D為AB的中點(diǎn)，得到AD=OD=BD，得到∠MON=∠AOD=∠OAD=30°，作MN垂直于OC，求出MN與ON的長(zhǎng)，確定出M坐標(biāo)，代入拋物線解析式檢驗(yàn)即可得到結(jié)果；
（3）存在，在Rt△AOB中，AO=

3

，BO=1，AB=2，∠ABO=60°，∠BAO=30°，分三種情況考慮：①當(dāng)∠ABP=90°時(shí)，若∠AP₁B=60°，則△ABP₁∽△AOB，由相似得比例，確定出P₁的坐標(biāo)，再由B坐標(biāo)確定出直線l解析式即可；②當(dāng)∠ABP=60°時(shí)，若∠BAP₅=90°，則△ABP₅∽△OBA，由相似得比例求出P₅坐標(biāo)，同理確定出直線l解析式；③當(dāng)∠ABP=30°且直線l在AB上方時(shí)，若∠P₆AB=90°，則△ABP₆∽△OAB，由相似得比例求出P₆坐標(biāo)，同理確定出直線l解析式，綜上，得到直線l上能找到點(diǎn)P，使Rt△PAB與Rt△AOB相似時(shí)的所有解析式．

解答：解：（1）依題意得：A（

3

，0），B（0，-1），
∵B為拋物線的頂點(diǎn)，
∴設(shè)拋物線解析式為y=ax²-1，
將A坐標(biāo)代入得：3a-1=0，即a=

1

3

，
則拋物線解析式為y=

1

3

x²-1；

（2）點(diǎn)M不在拋物線y=

1

3

x²-1上，理由為：
設(shè)拋物線與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)為C，直線OM交AB于點(diǎn)D，作MN⊥OC于點(diǎn)N，
由題意得：D為AB的中點(diǎn)，即OD=AD=BD，
∴∠MON=∠AOD=∠OAD=30°，
在Rt△OMN中，OM=2，
∴MN=1，ON=

3

，即M（-

3

，1），
∵y=

1

3

×（-

3

）²-1=0≠1，
∴點(diǎn)M不在拋物線y=

1

3

x²-1上；

（3）存在，在Rt△AOB中，AO=

3

，BO=1，AB=2，∠ABO=60°，∠BAO=30°，
分三種情況考慮：
①當(dāng)∠ABP=90°時(shí)，若∠AP₁B=60°，則△ABP₁∽△AOB，
∴

BP1

BO

=

AB

AO

，即BP₁=

1×2

3

=

2 3

3

，
∴OP₁=

3

3

，即P₁（-

3

3

，0），[這里也利用求出P₂（-

3

，2）或P₃（

3

3

，-2）或P₄（

3

，-4）]，
設(shè)直線l解析式為y=kx+b，將B與P₁坐標(biāo)代入得：

b=-1 - 3 3 k+b=0

，
解得：

k=- 3 b=-1

，
此時(shí)直線l解析式為y=-

3

x-1；
②當(dāng)∠ABP=60°時(shí)，若∠BAP₅=90°，則△ABP₅∽△OBA，
∴

BP5

AB

=

AB

BO

，即BP₅=

2×2

1

=4，
過(guò)P₅作P₅C⊥y軸于點(diǎn)G，在Rt△BGP₅中，∠P₅BG=60°，
∴P₅G=2

3

，BG=2，即P₅（2

3

，-3），
同理求出直線l解析式為y=-

3

3

x-1；
③當(dāng)∠ABP=30°且直線l在AB上方時(shí)，若∠P₆AB=90°，則△ABP₆∽△OAB，
∴

BP6

AB

=

AB

OA

，即BP₆=

2×2

3

=

4 3

3

，
過(guò)P₆作P₆H⊥y軸于點(diǎn)H，在Rt△BP₆H中，∠P₆BH=30°，
∴P₆H=

2 3

3

，BH=2，
∴P₆（

2 3

3

，1），
同理得到直線l解析式為y=

3

x-1，
綜上，存在三條直線l：y=-

3

x-1，y=-

3

3

x-1和y=

3

x-1，在上述直線l上能找到點(diǎn)P，使Rt△PAB與Rt△AOB相似．

點(diǎn)評(píng)：此題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，涉及的知識(shí)有：坐標(biāo)與圖形性質(zhì)，待定系數(shù)法求拋物線解析式，相似三角形的判定與性質(zhì)，利用了分類討論及數(shù)形結(jié)合的思想，是一道綜合性較強(qiáng)的試題．