Question

如圖1，點E是矩形ABCD邊BC的中點，將△ABE沿AE翻折得△AFE
（1）如圖1，若折痕AE=5

5

，tan∠FEC=

4

3

，求線段FC的長．
（2）如圖2，連接AC與BF交于點M，AE與BF交于點G，延長CG交AB于點N，連接MN，求證：∠BNG=∠AMG．

Answer 1

考點：四邊形綜合題

專題：

分析：（1）連接BF，過點F作FH⊥BC于H，先由正切函數(shù)的定義設(shè)FH=4k，則EH=3k，由勾股定理，得EF=5k，由折疊的性質(zhì)得EC=BE=EF=5k，CH=2k，BF⊥AE，再根據(jù)勾股定理的逆定理得出∠BFC=90°，然后由兩角對應(yīng)相等的兩三角形相似證明△FHC∽△ABE，根據(jù)相似三角形對應(yīng)邊成比例得到

FC

AE

=

HC

BE

，即可求出FC的長；
（2）先由兩角對應(yīng)相等的兩三角形相似證明△BEG∽△AEB，得出

BE

AE

=

GE

BE

，由BE=CE，得到

CE

AE

=

GE

CE

，又∠CEG=∠AEC，則△CEG∽△AEC，則∠CGE=∠ACE=∠AGN，再根據(jù)等角的余角相等得出∠MAB=∠NGB，又∠ABM=∠GBN，則△ABM∽△GBN，即可得出∠BNG=∠AMG．

解答：解：（1）如圖1，連接BF，過點F作FH⊥BC于H，則∠FHE=∠FHC=90°．
∵tan∠FEC=

4

3

，
∴設(shè)FH=4k，則EH=3k，
在Rt△HEF中，由勾股定理，得EF=5k．
∵點E是矩形ABCD邊BC的中點，將△ABE沿AE翻折得△AFE，
∴EC=BE=EF=5k，CH=2k，BF⊥AE．
在Rt△HCF中，由勾股定理，得FC²=FH²+HC²=16k²+4k²=20k²，
在Rt△HBF中，由勾股定理，得FB²=FH²+BH²=16k²+64k²=80k²，
∵BC²=100k²，
∴FC²+FB²=BC²，
∴∠BFC=90°，CF⊥BF，
∵BF⊥AE，
∴CF∥AE，
∴∠FCH=∠AEB，
又∵∠FHC=∠ABE，
∴△FHC∽△ABE，
∴

FC

AE

=

HC

BE

，即

FC

5 5

=

2k

5k

，
∴FC=2

5

；

（2）證明：如圖2，由（1）知BF⊥AE，
∴∠BGE=90°，
∴∠BGE=∠ABE=90°，
又∵∠BEG=∠AEB，
∴△BEG∽△AEB，
∴

BE

AE

=

GE

BE

，
∵BE=CE，
∴

CE

AE

=

GE

CE

，
又∵∠CEG=∠AEC，
∴△CEG∽△AEC，
∴∠CGE=∠ACE=∠AGN．
∵∠ACE+∠MAB=90°，∠AGN+∠NGB=90°，
∴∠MAB=∠NGB，
又∵∠ABM=∠GBN，
∴△ABM∽△GBN，
∴∠BMA=∠BNG，
即∠BNG=∠AMG．

點評：本題考查了矩形的性質(zhì)，銳角三角函數(shù)的定義，折疊的性質(zhì)，平行線的判定與性質(zhì)，勾股定理及其逆定理，相似三角形的判定與性質(zhì)，余角的性質(zhì)等知識，綜合性較強，難度較大．準確作出輔助線是解題的關(guān)鍵．