Question

8．如圖，?ABCD的頂點A、C、D都在⊙O上，AB與⊙O相切于點A，BC與⊙O交于點E，設(shè)∠OCD=α，∠BAD=β．
（1）求證：AB=AE；
（2）試探究α與β之間的數(shù)量關(guān)系．

Answer 1

分析 （1）先證明∠CED=∠ADE，推出$\widehat{AE}$=$\widehat{CD}$，推出AE=CD，由此即可證明．
（2）延長AO交CD于F，由β=90°+∠OAD，∠OAD=$\frac{1}{2}$∠FOD，∠FOD=∠FOC=90°-α，由此即可解決問題．

解答 （1）證明：連接DE．
∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴BC∥AD，AB=CD，
∴∠CED=∠ADE，
∴$\widehat{AE}$=$\widehat{CD}$，
∴AE=CD，
∴AB=AE．
（2）延長AO交CD于F，
∵AB是⊙O切線，
∴AB⊥AF，
∵AB∥CD，
∴AF⊥CD，
∵OC=OD，
∴∠OCD=∠ODC，
∴∠COF=∠DOF=90°-α，
∵∠OAD=∠ODA，
∴$∠OAD=\frac{1}{2}$（（90°-α），
∴β=90°+$\frac{1}{2}$（90°-α）=135°-$\frac{1}{2}$α．

點評 本題考查切線的性質(zhì)、平行四邊形的性質(zhì)、圓的有關(guān)知識、垂徑定理等知識，解題的關(guān)鍵是靈活運用這些知識解決問題，屬于中考常考題型．