Question

如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，坐標(biāo)原點(diǎn)為O，A點(diǎn)坐標(biāo)為（-4，0），B點(diǎn)坐標(biāo)為（1，0），以AB的中點(diǎn)P為圓心，AB為直徑作⊙P與y軸的負(fù)半軸交于點(diǎn)C．
（1）求經(jīng)過A、B、C三點(diǎn)的拋物線對(duì)應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式；
（2）設(shè)M為（1）中拋物線的頂點(diǎn)，試說明直線MC與⊙P的位置關(guān)系，并證明你的結(jié)論；

（3）在第二象限中是否存在的一點(diǎn)Q，使得以A,O,Q為頂點(diǎn)的三角形與△OBC相似。若存在，請(qǐng)求出所有滿足的Q點(diǎn)坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由。

Answer 1

（1）連接PC，

∵A（-4，0），B（1，0）

∴AB=5……………………………………………………………1分

∵P是AB的中點(diǎn)，且是⊙P的圓心

∴PC=PA=2.5 ，OP=4-2.5=1.5 ．

∴OC= PC²−OP²=2

∴C（0，2）．……………………………………………………………3分

設(shè)經(jīng)過A、B、C三點(diǎn)的拋物線為y=a（x-1）（x+4），

∴-2=a（0-1）（0+4）

∴a=……………………………………………………………4分

∴拋物線為y=（x-1）（x+4）………………………………………………………6分

     （2）直線MC與⊙P相切．

易證CN²+PC²=PN²．

∴∠PCN=90度．

∴MC與⊙P相切．VC

（3）(-4,2);(-4,8);

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