Question

如圖，是一塊玻璃紙的一部分，它由11個邊長為4

3

的正三角形按下列方式排列：它們各自有一條邊依次在同一條直線上，而且沿著這條直線，每個三角形底邊的中點恰為下一個三角形的頂點，則由這11個三角形所蓋住的玻璃（平面的）區(qū)域的面積是

 

（答案可帶根號）．

Answer 1

考點：等邊三角形的性質(zhì),三角形的面積

專題：規(guī)律型

分析：找到兩個等邊三角形的對應(yīng)頂點，對應(yīng)頂點之間的距離即為平移的距離，從前一三角形的頂點到后一三角形的頂點為平移的方向；經(jīng)過觀察可得11個三角形所蓋住的平面區(qū)域的面積為11個三角形的面積-10個重疊部分的三角形的面積，根據(jù)相似可得重疊部分的面積等于原三角形面積的四分之一．

解答：解：將第一個等邊三角形向右連續(xù)平移，每次平移的距離是邊長的一半；
∴BC=FC=2

3

，
AB=4

3

，
∴AC=

AB2-BC2

=6，
DE=

CE2-CD2

=3，
∴相鄰兩個三角形相互重疊的面積是一個三角形面積為：

1

2

×2

3

×3=3

3

，
每個大三角形面積為：

1

2

×4

3

×h=

1

2

×4

3

×6=12

3

，
所以這11個三角形所蓋住的平面區(qū)域的面積是：11×12

3

-3

3

×10=102

3

．
故答案為：102

3

．

點評：此題主要考查了等邊三角形的性質(zhì)以及面積求法，用到的知識點為：平移的方向為前面的圖形的對應(yīng)頂點到后面圖形的對應(yīng)頂點，距離為兩個對應(yīng)頂點之間的距離．