Question

【題目】對于平面直角坐標系xOy中的動點P和圖形N，給出如下定義：如果Q為圖形N上一個動點，P，Q兩點間距離的最大值為dmax，P，Q兩點間距離的最小值為dmin，我們把dmax+dmin的值叫點P和圖形N間的“和距離”，記作d（P，圖形N）．

（1）如圖1，正方形ABCD的中心為點O，A（3，3）．

①點O到線段AB的“和距離”d（O，線段AB）=______；

②設該正方形與y軸交于點E和F，點P在線段EF上，d（P，正方形ABCD）=7，求點P的坐標．

（2）如圖2，在（1）的條件下，過C，D兩點作射線CD，連接AC，點M是射線CD上的一個動點，如果6＜d（M，線段AC）＜6+3，直接寫出M點橫坐標t取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）①；②點P的坐標為（0，1）或（0，-1）；（2）t取值范圍是-3＜t＜3．

【解析】

（1）①根據“和距離“的定義計算：OE是兩點間距離的最小值，OA是兩點間的最大值，相加可得結論；
②分兩種情況：P在y軸的正半軸和負半軸上，根據“和距離“的定義，并由d（P，正方形ABCD）=7，列方程計算即可得；
（2）分M在線段CD上和延長線上兩種情況，利用“和距離”的定義列方程可得結論．

解：（1）①如圖1，連接OA，

∵四邊形ABCD是正方形，且A（3，3），

∴dmax+dmin=OE+OA=3+3，即d（O，線段AB）=3+3，

故答案為：3+3；

②設P（0，y），

∵d（P，正方形ABCD）=7，

∴dmax+dmin=7，

分兩種情況：

∵E（0，3），F（0，-3），且P是線段EF上一個動點，

i）當P在x軸上方時，如圖2，連接PC，

∴dmax+dmin=PE+PC=7，

3-y+=7，

解得：y=1，

經檢驗，y=1是原方程的解，

∴P（0，1），

ii）當P在x軸的下方時，同理可得P（0，-1）；

綜上，點P的坐標為（0，1）或（0，-1）；

（2）分兩種情況：

①當-3≤t＜3時，如圖3，M在線段CD上，過M作MN⊥AC于N，連接AM，

∵M點橫坐標是t，

∴CM=t+3，

∵四邊形ABCD是正方形，

∴∠ACD=45°，

∴△CMN是等腰直角三角形，

∴MN=（t+3），

∴d（M，線段AC）=MN+MA=（t+3）+，

②當t≥3時，如圖4，M在線段CD的延長線上，過M作MN⊥AC于N，

同理MN==（t+3），

∴d（M，線段AC）=MN+CM=（t+3）+t+3，

∵在動點M從C到D方向上運動時，MN+MA越來越大，

∴（t+3）+=6，解得：t=-3，

（t+3）+t+3=6+3，解得：t=3，

∴M點橫坐標t取值范圍是-3＜t＜3．