Question

如圖，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，過點B作BD⊥AC于D，BE平分∠DBC，交AC于E，過點A作AF⊥BE于G，交BC于F，交BD于H．若∠BAC=30°，則

FC

HD

的值為

 

．

Answer 1

考點：角平分線的性質(zhì),含30度角的直角三角形,勾股定理

專題：

分析：設(shè)BC=1，則AC=2BC=2，AB=

3

BC=

3

，在Rt△ABD中，BD=

1

2

AB=

3

2

，AD=

3

BD=

3

2

，求出AB=AE=

3

，過D作DM∥AB，交AF延長線于M，求出AD=DM=

3

2

，證△ABH∽△MDH，推出

AB

DM

=

BH

DH

，求出DH，同理可得：

AB

AC

=

BF

CF

，求出CF，即可求出答案．

解答：解：∵BD⊥AC，
∴∠BDA=90°，
∵∠BAC=30°，
∴∠ABD=60°，
設(shè)BC=1，則AC=2BC=2，AB=

3

BC=

3

，
在Rt△ABD中，BD=

1

2

AB=

3

2

，AD=

3

BD=

3

2

，
∵∠BDC=90°，∠ACB=90°-30°=60°，
∴∠DBC=90°-60°=30°，BE平分∠DBC，
∴∠DBE=∠CBE=15°，
∴∠ABE=∠AEB=75°，
∴AB=AE=

3

，
∵AF⊥BE，
∴AF平分∠BAC，
∴∠BAF=∠CAF，
過D作DM∥AB，交AF延長線于M，
則∠M=∠BAF=∠CAF，
∴AD=DM=

3

2

，
∵DM∥AB，
∴△ABH∽△MDH，
∴

AB

DM

=

BH

DH

，
∴

3

3 2

=

3 2 -DH

DH

，
∴DH=3-

3 3

2

，
同理可得：

AB

AC

=

BF

CF

，
∴

3

2

=

1-CF

CF

，
∴CF=4-2

3

，
∴

FC

HD

=

4-2 3

3- 3 3 2

=

4

3

，
故答案為：

4

3

．

點評：本題考查了解直角三角形，相似三角形的性質(zhì)和判定的應(yīng)用，主要考查學生的推理能力，題目比較典型，有一定的難度．