Question

如圖，已知：AB∥CD，∠BAE=∠DCF，AC，EF相交于點M，有AM=CM．
（1）求證：AE∥CF；
（2）若AM平分∠FAE，求證：FE垂直平分AC．

Answer 1

考點：線段垂直平分線的性質,平行線的判定與性質

專題：證明題

分析：（1）先根據(jù)AB∥CD得出∠BAC=∠DCA，再由∠BAE=∠DCF可知∠EAM=∠FCM，故可得出結論；
（2）先由AM平分∠FAE得出∠FAM=∠EAM，再根據(jù)∠EAM=∠FAM可知∠FAM=∠FCM，故△FAC是等腰三角形，由等腰三角形三線合一的性質即可得出結論．

解答：（1）證明：∵AB∥CD，
∴∠BAC=∠DCA，
又∵∠BAE=∠DCF，
∴∠EAM=∠FCM，
∴AE∥CF；

（2）證明：∵AM平分∠FAE，
∴∠FAM=∠EAM，
又∵∠EAM=∠FAM，
∴∠FAM=∠FCM，
∴△FAC是等腰三角形，
又∵AM=CM，
∴FM⊥AC，即EF垂直平分AC．

點評：本題考查的是線段垂直平分線的性質，熟知線段垂直平分線上任意一點，到線段兩端點的距離相等是解答此題的關鍵．