Question

2．如圖，在矩形ABCD中，AB=2$\sqrt{2}$，AD=4，點E是BC邊上一個動點，連接AE，作DF⊥AE于點F，當(dāng)BE的長為2或2$\sqrt{2}$或4-2$\sqrt{2}$時，△CDF是等腰三角形．

Answer 1

分析 過點C作CM⊥DF，垂足為點M，判斷△CDF是等腰三角形，要分類討論，①CF=CD；②DF=DC；③FD=FC，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)進(jìn)行求解．

解答 解：①CF=CD時，過點C作CM⊥DF，垂足為點M，
則CM∥AE，DM=MF，（1分）
延長CM交AD于點G，
∴AG=GD=2，
∴CE=2，
∴當(dāng)BE=2時，△CDF是等腰三角形；
②DF=DC時，則DF=DC=AB=2$\sqrt{2}$，
∵DF⊥AE，AD=2，
∴∠DAE=45°，
則BE=2$\sqrt{2}$，
∴當(dāng)BE=2$\sqrt{2}$時，△CDF是等腰三角形；
③FD=FC時，則點F在CD的垂直平分線上，故F為AE中點．
∵AB=2$\sqrt{2}$，BE=x，
∴AE=$\sqrt{8+{x}^{2}}$，
AF=$\frac{\sqrt{8+{x}^{2}}}{2}$，
∵△ADF∽△EAB，
∴$\frac{AD}{AE}=\frac{AF}{EB}$，即$\frac{4}{\sqrt{8+{x}^{2}}}=\frac{\frac{\sqrt{8{+x}^{2}}}{2}}{x}$，
解得：x=4-2$\sqrt{2}$或x=4+2$\sqrt{2}$（舍去）；
∴當(dāng)BE=4-2$\sqrt{2}$時，△CDF是等腰三角形．
綜上，當(dāng)BE=2或2$\sqrt{2}$或4-2$\sqrt{2}$ 時，△CDF是等腰三角形．
故答案為：2或2$\sqrt{2}$或4-2$\sqrt{2}$．

點評 此題難度比較大，主要考查矩形的性質(zhì)、相似三角形的性質(zhì)及等腰三角形的判定，考查知識點比較多，綜合性比較強，另外要注意輔助線的作法．