Question

16．如圖，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=4cm，BC=3cm．如果點(diǎn)P由點(diǎn)B出發(fā)沿BA方向向點(diǎn)A勻速運(yùn)動(dòng)，同時(shí)點(diǎn)Q由點(diǎn)A出發(fā)沿AC方向向點(diǎn)C勻速運(yùn)動(dòng)，它們的速度均為1cm/s．連接PQ，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t（s）（0＜t＜4），設(shè)PQ的長(zhǎng)為y，當(dāng)t為何值時(shí)，y取得最小值？y的最小值是多少？

Answer 1

分析 過(guò)點(diǎn)P作PH⊥AC于H，由△APH∽△ABC得$\frac{PH}{BC}$=$\frac{AH}{AC}$=$\frac{AP}{AB}$，由此用t表示線段PH、QH，利用勾股定理求出線段PQ，然后用二次函數(shù)知識(shí)解決．

解答 解：作PH⊥AC垂足為H．
在RT△ABC中，∵AC=4，BC=3，
∴AB=$\sqrt{A{C}^{2}+B{C}^{2}}$=$\sqrt{{4}^{2}+{3}^{2}}$=5
∵∠PHA=∠C=90°，
∴PH∥BC，
∴$\frac{PH}{BC}$=$\frac{AH}{AC}$=$\frac{AP}{AB}$，
∴$\frac{PH}{3}$=$\frac{AH}{4}$=$\frac{5-t}{5}$，
∴PH=$\frac{3}{5}$（5-t），AH=$\frac{4}{5}$（5-t），
∴QH=AH-AQ或AQ-AH
∴QH=|$\frac{4}{5}$（5-t）-t|=|4-$\frac{9}{5}$t|
∴y=$\sqrt{P{H}^{2}+Q{H}^{2}}$=$\sqrt{[\frac{3}{5}（5-t）]^{2}+（4-\frac{9}{5}t）^{2}}$=$\sqrt{\frac{18}{5}{t}^{2}-18t+25}$=$\sqrt{\frac{18}{5}（t-\frac{5}{2}）^{2}+\frac{5}{2}}$，
∴t=$\frac{5}{2}$時(shí)，y_最小值=$\sqrt{\frac{5}{2}}$=$\frac{\sqrt{10}}{2}$．

點(diǎn)評(píng) 此題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理、以及二次函數(shù)的最值問(wèn)題，把最值問(wèn)題轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)問(wèn)題，是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．