Question

如圖，以直角三角形的兩條直角邊AC、AB為直徑，向三角形內作半圓，兩半圓交于點D，CD=1，BD=3，則圖中陰影部分的面積為________（平方單位）．

Answer 1

分析：連接AD，則AD⊥BC，則△ACD∽△BCA；根據相似三角形的對應邊的比相等，可以求出AC=2，因而∠B=30度，根據扇形的面積公式就可以求出兩個半圓的公共部分的面積．用以AC為直徑的半圓的面積，減去公共部分的面積就得到陰影部分的面積．
解答：解：如圖，設N是以AC為直徑的半圓的圓心，連接ND，M為以AB為直徑的半圓的圓心，連接MD，連接AD．
則AD⊥BC，根據射影定理有：
AC²=CD•CB=CD（CD+BD）=4，即AC=2；
同理可求得AB=2；
因此∠ABD=30°，∠ACD=60°；
∴∠AMD=60°，∠AND=120°．
∴扇形MAD中，弓形AD的面積=S_扇形MAD-S_△MAD=-=-；
同理可求得扇形AND中，S_弓形AD=-；
因此S_陰影=-（-+-）=-（平方單位）．
點評：不規(guī)則的圖形的面積一般要轉化為一些規(guī)則圖形的面積的和或差來求解．