Question

如圖，以直角三角形的兩條直角邊AC、AB為直徑，向三角形內(nèi)作半圓，兩半圓交于點D，CD=1，BD=3，則圖中陰影部分的面積為

 

（平方單位）．

Answer 1

分析：連接AD，則AD⊥BC，則△ACD∽△BCA；根據(jù)相似三角形的對應邊的比相等，可以求出AC=2，因而∠B=30度，根據(jù)扇形的面積公式就可以求出兩個半圓的公共部分的面積．用以AC為直徑的半圓的面積，減去公共部分的面積就得到陰影部分的面積．

解答：解：如圖，設(shè)N是以AC為直徑的半圓的圓心，連接ND，M為以AB為直徑的半圓的圓心，連接MD，連接AD．
則AD⊥BC，根據(jù)射影定理有：
AC²=CD•CB=CD（CD+BD）=4，即AC=2；
同理可求得AB=2

3

；
因此∠ABD=30°，∠ACD=60°；
∴∠AMD=60°，∠AND=120°．
∴扇形MAD中，弓形AD的面積=S_扇形MAD-S_△MAD=

60×π×( 3 )2

360

-

3 3

4

=

π

2

-

3 3

4

；
同理可求得扇形AND中，S_弓形AD=

π

3

-

3

4

；
因此S_陰影=

π

2

-（

π

2

-

3 3

4

+

π

3

-

3

4

）=

3

-

π

3

（平方單位）．

點評：不規(guī)則的圖形的面積一般要轉(zhuǎn)化為一些規(guī)則圖形的面積的和或差來求解．