Question

【題目】如圖， 已知拋物線的對稱軸是直線x=3，且與x軸相交于A，B兩點(diǎn)（B點(diǎn)在A點(diǎn)右側(cè)）與y軸交于C點(diǎn) ．

（1）求拋物線的解析式和A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)；

（2）若點(diǎn)P是拋物線上B、C兩點(diǎn)之間的一個動點(diǎn)（不與B、C重合），則是否存在一點(diǎn)P，使△PBC的面積最大．若存在，請求出△PBC的最大面積；若不存在，試說明理由；

（3）若M是拋物線上任意一點(diǎn)，過點(diǎn)M作y軸的平行線，交直線BC于點(diǎn)N，當(dāng)MN=3時，求M點(diǎn)的坐標(biāo) ．

Answer 1

【答案】（1），點(diǎn)A的坐標(biāo)為(-2，0)，點(diǎn)B的坐標(biāo)為(8，0)；（2）存在點(diǎn)P，使△PBC的面積最大，最大面積是16，理由見解析；（3）點(diǎn)M的坐標(biāo)為(4-2，)、(2，6)、(6，4)或(4+2，-)．

【解析】

（1） 由拋物線的對稱軸為直線x=3，利用二次函數(shù)的性質(zhì)即可求出a值， 進(jìn)而可得出拋物線的解析式， 再利用二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征， 即可求出點(diǎn)A、B的坐標(biāo)；

（2） 利用二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征可求出點(diǎn)C的坐標(biāo)， 由點(diǎn)B、C的坐標(biāo)， 利用待定系數(shù)法即可求出直線BC的解析式， 假設(shè)存在， 設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（x,），過點(diǎn)P作PD//y軸， 交直線BC于點(diǎn)D，則點(diǎn)D的坐標(biāo)為（x,），PD=- x2+2x，利用三角形的面積公式即可得出三角形PBC的面積關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式， 再利用二次函數(shù)的性質(zhì)即可解決最值問題；

（3） 設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為（m,），則點(diǎn)N的坐標(biāo)為（m,），進(jìn)而可得出MN，結(jié)合MN=3即可得出關(guān)于m的含絕對值符號的一元二次方程， 解之即可得出結(jié)論 ．

（1）拋物線的對稱軸是直線，

，解得：，

拋物線的解析式為．

當(dāng)時，，

解得：，，

點(diǎn)的坐標(biāo)為，點(diǎn)的坐標(biāo)為．

（2） 當(dāng)時，，

點(diǎn)的坐標(biāo)為．

設(shè)直線的解析式為．

將、代入，

，解得：，

直線的解析式為．

假設(shè)存在， 設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，過點(diǎn)作軸， 交直線于點(diǎn)，則點(diǎn)的坐標(biāo)為，如圖所示 ．

，

．

，

當(dāng)時，的面積最大， 最大面積是 16 ．

，

存在點(diǎn)，使的面積最大， 最大面積是 16 ．

（3） 設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，則點(diǎn)的坐標(biāo)為，

．

又，

．

當(dāng)時， 有，

解得：，，

點(diǎn)的坐標(biāo)為或；

當(dāng)或時， 有，

解得：，，

點(diǎn)的坐標(biāo)為，或，．

綜上所述：點(diǎn)的坐標(biāo)為，、、或，．