Question

【題目】如圖，已知直線與x軸交于點(diǎn)B，與y軸交于點(diǎn)C，拋物線

與x軸交于A、B兩點(diǎn)（A在B的左側(cè)），與y軸交于點(diǎn)C.

（1）求拋物線的解析式；

（2）點(diǎn)M是上述拋物線上一點(diǎn)，如果△ABM和△ABC相似，求點(diǎn)M的坐標(biāo)；

（3）連接AC，求頂點(diǎn)D、E、F、G在△ABC各邊上的矩形DEFC面積最大時(shí)，寫出該矩形在AB邊上的頂點(diǎn)的坐標(biāo)．

Answer 1

【答案】（1）；（2）M（3，-2）；（3）D(，0)或D(－，0)、E(2，0)

【解析】試題分析：(1)先求得直線與x軸交于點(diǎn)B與y軸交于點(diǎn)C的坐標(biāo)，再把點(diǎn)B的坐標(biāo)代入，求得b值，即可得拋物線的解析式；（2）先判定△ABC為直角三角形，當(dāng)△ABM和△ABC相似時(shí)，一定有∠AMB=90° ，△BAM≌△ABC，即可得點(diǎn)M的坐標(biāo)；（3）分矩形DEFG有兩個(gè)頂點(diǎn)D、E在AB上和矩形一個(gè)頂點(diǎn)在AB上兩種情況求點(diǎn)的坐標(biāo).

試題解析：

(1) 由題意：直線與x軸交于點(diǎn)B（4,0），

與y軸交于點(diǎn)C點(diǎn)C（0，-2），

將點(diǎn)B（4,0）代入拋物線易得

∴所求拋物線解析式為：

(2) ∵, ∴△ABC為直角三角形，∠BCA=90°

∵點(diǎn)M是上述拋物線上一點(diǎn)∴不可能有MB與AB或者MA與AB垂直

當(dāng)△ABM和△ABC相似時(shí)，一定有∠AMB=90° △BAM≌△ABC

此時(shí)點(diǎn)M的坐標(biāo)為：M（3，-2）

(3)∵△ABC為直角三角形，

∠BCA=90°

當(dāng)矩形DEFG只有頂點(diǎn)D

在AB上時(shí)，顯然點(diǎn)F與點(diǎn)

C重合時(shí)面積最大，如圖1，

設(shè)CG＝x，

∵DG∥BC，∴△AGD∽△ACB.

∴AG：AC＝DG∶BC，即∴DG＝2(－x)

∴S矩形DEFG＝－2(x－)＋ 即x＝時(shí)矩形DEFG的面積有最大值 (2－x)．

∴S矩形DEFG＝x· (2－x)＝－ (x－1)2＋，即當(dāng)x＝1時(shí)矩形DEFG的面積同樣有最大值，

綜上所述，無論矩形DEFG有兩個(gè)頂點(diǎn)或只有一個(gè)頂點(diǎn)在AB上，其最大面積相同

當(dāng)矩形一個(gè)頂點(diǎn)在AB上時(shí)， GD＝2(－x)＝，AG＝，

∴AD＝， OD＝AD－OA＝， ∴D(，0)．

當(dāng)矩形DEFG有兩個(gè)頂點(diǎn)D、E在AB上時(shí)，∵DG＝1， ∴DE＝，

∵DG∥OC，∴△ADG∽△AOC，∴AD∶AO＝DG∶OC，解得AD＝，

∴OD＝， OE＝－＝2， ∴D(－，0)，E(2，0)．

綜上所述，滿足題意的矩形在AB邊上的頂點(diǎn)的坐標(biāo)為D(，0)或D(－，0)、E(2，0) ．