Question

6．如圖，PA、PB是⊙O的切線，A、B分別為切點，PO交圓于點C，若∠APB=60°，PC=6，則AC的長為2$\sqrt{3}$．

Answer 1

分析 如圖，設CP交⊙O于點D，連接AD．由切線的性質易證△AOP是含30度角的直角三角形，所以該三角形的性質求得半徑=2；然后在等邊△AOD中得到AD=OA=2；最后通過解直角△ACD來求AC的長度．

解答 解：如圖，設CP交⊙O于點D，連接AD．設⊙O的半徑為r．
∵PA、PB是⊙O的切線，∠APB=60°，
∴OA⊥AP，∠APO=$\frac{1}{2}$∠APB=30°．
∴OP=2OA，∠AOP=60°，
∴PC=2OA+OC=3r=6，則r=2，
∵∠AOD=60°，AO=DO，
∴△AOD是等邊三角形，則AD=OA=2，
又∵CD是直徑，
∴∠CAD=90°，
∴∠ACD=30°，
∴AC=AD•cot30°=2$\sqrt{3}$，
故答案為2$\sqrt{3}$．

點評 本題考查了切線的性質，圓周角定理，正確的作出輔助線是解題的關鍵．